- Расстояние от точки до плоскости;
- Теорема о трех перпендикулярах.
- Знать, что такое перпендикуляр к плоскости, наклонная и проекция наклонной на плоскость;
- Знать, как измеряется расстояние от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между прямой и параллельной ей плоскостью;
- Знать и уметь применять теорему о трёх перпендикулярах.
- При каком условии прямая называется перпендикулярной к плоскости?
- Что называют расстоянием от точки до прямой?
- Как определяется угол между прямыми в пространстве?
Расстояние от точки до плоскости
Определение 1
Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной к плоскости.
Рис. 1.
На рисунке 1 показана прямая n, проведённая через точку $A$, перпендикулярно к плоскости $\alpha$. Прямая n и плоскость $\alpha$ пересекаются в точке $H$. Отрезок $A H$ в данном случае и является перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к плоскости $\alpha$.
Определение 2
Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Рис. 2.
На рисунке 2 показаны перпендикуляр $A H$ и наклонная $A M$ проведённые из одной и той же точки $A$. Точку $H$, при этом, называют основанием перпендикуляра, а точку $M$ – основанием наклонной.
Отрезок $M H$ называют проекцией наклонной $A M$ на плоскость $\alpha$.
Определение 3
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Сравним перпендикуляр $A H$ и наклонную AM (рис. 2).
Рассмотрим треугольник $A H M$. $\angle A H M = 90^{\circ}$, так как $A H$ – перпендикуляр к плоскости. Значит, $\Delta A H M$ – прямоугольный. При этом $A M$ – гипотенуза, а $A H$ – катет прямоугольного треугольника $A H M$. Следовательно, $A H < A M$.
Таким образом, перпендикуляр, проведённый из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости. Это означает, что из всех расстояний от точки $A$ до различных точек плоскости $\alpha$ наименьшим является расстояние до точки $H$. За расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ принимают длину именно этого отрезка $A H$.
Определение 4
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости.
С расстоянием от точки до плоскости связаны следующие понятия:
- расстояние между параллельными плоскостями,
- расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью,
- расстояние между скрещивающимися прямыми.
Сформулируем определения этих понятий.
Определение 5
Расстоянием между параллельными плоскостями называют расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
Определение 6
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называют расстояние от любой точки данной прямой до данной плоскости.
Определение 7
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от произвольной точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Пример 1
Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все её точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Доказательство
Рис. 3. К примеру 1
Пусть $a$ – данная прямая и $\alpha$ – данная плоскость (рис. 3). Возьмём на прямой $a$ две произвольные точки $X$ и $Y$. Их расстояния до плоскости $\alpha$ – это длины перпендикуляров $X X_{1}$ и $Y Y_{1}$, опущенных на эту плоскость. Так как $X X_{1} \bot \alpha$ и $Y Y_{1} \bot \alpha$, то $X X_{1} \parallel Y Y_{1}$, значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $X_{1} Y_{1}$. Прямая a параллельна прямой $X_{1} Y_{1}$, так как не пересекает содержащую её плоскость $\alpha$. Таким образом, у четырёхугольника $X X_{1} Y_{1} Y$ противолежащие стороны параллельны. Значит, он параллелограмм, следовательно, $X X_{1} = Y Y_{1}$. Точки $X$ и $Y$ были выбраны произвольно на прямой $a$, а значит все точки прямой $a$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Упражнение 1
1. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен $30^{\circ}$. Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 6 см.
2. Расстояние от точки $A$ до каждой из вершин правильного треугольника $M N K$ равно 8 см. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $M N K$, если $M N = 12 \text{см}$.
3. Через вершину прямого угла $C$ прямоугольного треугольника $A B C$ проведена плоскость параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от неё. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
4. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.
Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема 1
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство
Рис. 4. К доказательству теоремы 1
На рисунке 4 отрезок $A H$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $A M$ – наклонная, $a$ – прямая, проведённая в плоскости $\alpha$ через точку $M$ перпендикулярно к проекции $H M$ наклонной. Докажем, что прямая a перпендикулярна наклонной $A M$.
$a \bot H M$ по условию и $a \bot A H$, так как $A H \bot \alpha$.
Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна к плоскости треугольника $A M H$, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $A H$ и $H M$, лежащим в этой плоскости. Значит, прямая a перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости $A M H$. Поэтому, $a \bot A M$.
Теорема доказана.
Справедливо также и обратное утверждение: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Пример 2
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение
Рис. 5. К примеру 2
Пусть $A , B , C$ – точка касания сторон треугольника с окружностью, то есть стороны треугольника являются касательными к окружности, $O$ – центр окружности и $S$ – точка на перпендикуляре (рис. 5). Так как радиус $O A$ перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $S A$ есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
По теореме Пифагора $S A = \sqrt{A O^{2} + O S^{2}} = \sqrt{r^{2} + O S^{2}}$, где $r$ – радиус вписанной окружности. Аналогично находим $S B = \sqrt{r^{2} + O S^{2}}$, $S C = \sqrt{r^{2} + O S^{2}}$, т.е. все расстояния от точки $S$ до сторон треугольника равны.
Упражнение 2
1. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса $0,7 \text{м}$ восстановлен перпендикуляр длиной $2,4 \text{м}$. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
2. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно $1,1 \text{м}$, а до каждой из его сторон – $6,1 \text{м}$. Найдите расстояние от основания этого перпендикуляра до сторон треугольника.
3. Из вершины равностороннего треугольника $A B C$ восстановлен перпендикуляр $A D$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $D$ до стороны $B C$, если $A D = 13 \text{см} , B C = 6 \text{см}$.
4. Расстояния от точки $A$ до всех сторон квадрата равны $a$. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна $d$.
Контрольные вопросы
- Что такое перпендикуляр и наклонная к плоскости?
- Что называют проекцией наклонной на плоскость?
- Что принимают за расстояние от точки до плоскости?
- Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
Упражнение 1
- Наклонная равна $4 \sqrt{3}$ см; проекция равна $2 \sqrt{3}$ см.
- 4 см.
- 6 м.
- 5 м и 3 м.
Упражнение 2
- 2,5 м.
- 6 м.
- 14 см.
- $\sqrt{a^{2} - \frac{d^{2}}{8}}$