Конспект урока: Прямоугольный параллелепипед

Рис. 1.

В жизни мы часто сталкиваемся с предметами, имеющими форму прямоугольного параллелепипеда. Наглядными примерами таких предметов являются кирпич, коробка, холодильник, системный блок компьютера и т. д.

Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

Основаниями прямоугольного параллелепипеда $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ на рисунке 2 служат прямоугольники $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$. Согласно определению, боковые рёбра $A_{1} A_{2}$, $B_{1} B_{2}$, $C_{1} C_{2}$, $D_{1} D_{2}$ перпендикулярны к основаниям. Из этого следует, что боковые грани являются прямоугольниками. Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

Рис. 3. К доказательству теоремы 1

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ (рис. 3) и докажем, что

$A_{1} \left(C_{2}\right)^{2} = A_{1} \left(B_{1}\right)^{2} + A_{1} \left(D_{1}\right)^{2} +$

$+ A_{1} \left(A_{2}\right)^{2}$

Так как ребро $C_{1} C_{2}$ перпендикулярно к основанию $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, то угол $A_{1} C_{1} C_{2}$ прямой.

Из прямоугольного треугольника $A_{1} C_{1} C_{2}$ по теореме Пифагора получаем

$A_{1} \left(C_{2}\right)^{2} = A_{1} \left(C_{1}\right)^{2} + C_{1} \left(C_{2}\right)^{2}$.

$A_{1} C_{1}$ – диагональ прямоугольника $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Значит, 

$A_{1} \left(C_{1}\right)^{2} = A_{1} \left(B_{1}\right)^{2} + A_{1} \left(D_{1}\right)^{2}$.

При этом $C_{1} C_{2} = A_{1} A_{2}$. Следовательно, 

$A_{1} \left(C_{2}\right)^{2} = A_{1} \left(B_{1}\right)^{2} + A_{1} \left(D_{1}\right)^{2} + A_{1} \left(A_{2}\right)^{2}$.

Теорема доказана.

Рис. 4.

Так как диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, то $B_{1} D_{2} = A_{1} C_{2} = 24 \text{см}$.

В прямоугольном треугольнике $B_{1} D_{1} D_{2}$ $\angle D_{1} D_{2} B_{1} = 45^{\circ} \Rightarrow \angle D_{1} B_{1} D_{2} = 45^{\circ}$.

Следовательно, прямоугольный треугольник $D_{1} D_{2} B_{1}$ является равнобедренным, в котором $B_{1} D_{1} = D_{1} D_{2}$ и $B_{1} D_{2} = 24 \text{см}$.

Обозначим $B_{1} D_{1} = D_{1} D_{2}$ за $x$.

По теореме Пифагора:

$x^{2} + x^{2} = 24^{2}$,

$2 x^{2} = 576$,

$x^{2} = 288$,

$x = 12 \sqrt{2}$.

Таким образом, $B_{1} D_{1} = D_{1} D_{2} = 12 \sqrt{2}$ см.

Отрезок $A_{1} D_{2}$ является проекцией диагонали $B_{1} D_{2}$ на плоскость грани $A_{1} A_{2} D_{2} D_{1}$.

Значит, углом между диагональю $B_{1} D_{2}$ и гранью $A_{1} A_{2} D_{2} D_{1}$ является угол $A_{1} D_{2} B_{1}$, т.е. $\angle A_{1} D_{2} B_{1} = 30^{\circ}$.

Треугольник $A_{1} D_{2} B_{1}$ – прямоугольный с прямым углом $A_{1}$. Гипотенуза $B_{1} D_{2}$ этого треугольника равна 24 см.

Следовательно, катет $A_{1} B_{1}$, лежащий против угла $A_{1} D_{2} B_{1}$, равного 30^o, равен 12 см.

В прямоугольном треугольнике $A_{1} B_{1} D_{1}$ известна гипотенуза $B_{1} D_{1} = 12 \sqrt{2} \text{см}$ и катет $A_{1} B_{1} = 12 \text{см}$.