Конспект урока: Статистическая вероятность

Статистическая вероятность 

Вам уже знакомо классическое определение вероятности. Однако, оно применимо лишь в тех случаях, когда можно теоретически выявить все равновозможные исходы испытания. На практике часто встречаются такие испытания (явления), в которых число исходов необозримо велико. Кроме того, не все исходы могут быть равновозможными или установить их равновозможность проблематично. Поэтому существует другой подход к определению понятия вероятности. Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность события должна быть каким-то образом связана с частотой появления этого события.

Абсолютной частотой случайного события $A$ в серии из $N$ случайных опытов называется число $M$, которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие $A$.

Абсолютная частота всегда выражается целым числом $0 \leq \mathit{M} \leq \mathit{N}$. При этом: 

• для невозможного события $\mathit{M} = 0$;
• для достоверного события $\mathit{M} = \mathit{N}$.

Относительной частотой случайного события $A$ в серии из $N$ случайных опытов называется число $W \left(A\right)$, которое показывает, какая доля опытов в этой серии завершилась наступлением события $A$: 

$\mathit{W} ( \mathit{A} ) = \frac{\mathit{M}}{N}$.

Относительная частота выражается числом от 0 до 1. При этом: 

• для невозможного события $\mathit{W} ( \mathit{A} ) = 0$;
• для достоверного события $\mathit{W} ( \mathit{A} ) = 1$.

При стократном бросании монеты «орёл» выпал 48 раз. Какова относительная частота выпадения «орла» в данной серии бросания монеты?

Решение

Событие $A$ – выпадение «орла», произошло в 48 случаях, т.е. $M = 48$. Общее число испытаний (бросаний монеты) $N = 100$. Следовательно, относительная частота выпадения «орла» в данной серии равна $\mathit{W} ( \mathit{A} ) = \frac{48}{100} = 0,48$. 

Ответ: $0,48$. 

Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти относительную частоту изделий первого сорта, относительную частоту изделий второго сорта.

Решение 

Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: $400 - 20 = 380$. Поскольку $N = 400$, $M 1 = 380$, то частота изделий первого сорта: 

$W 1 = \frac{380}{400} = 0,95$. 

Аналогично, находим частоту изделий второго сорта: 

$W 2 = \frac{20}{400} = 0,05$. 

Ответ: $0,95$; $0,05$. 

Если проводить реальные испытания с подбрасыванием монеты и фиксировать количество появлений «орла» в разных сериях испытаний, то можно заметить: чем больше проводится испытаний, тем меньше относительная частота появления «орла» отличается от значения $0,5$. То есть можно сказать, что относительная частота появления орла стремится к вероятности этого события в классическом понимании. Такие эксперименты проводили различные учёные прошлого. Так французский математик и естествоиспытатель XVIII века Жорж-Луи Леклерк де Бюффон, выполнив 4040 подбрасываний монеты, наблюдал появление «орла» $2048$ раз и, следовательно, получил относительную частоту появления «орла», равную $\frac{2048}{4040} \approx 0,5069$. Английский учёный Карл Пирсон со своими учениками выполнил 24000 подбрасываний монеты. «Орёл» выпал в $12012$ случаях. Таким образом, у Пирсона частота появления «орла» оказалась равной $\frac{12012}{24000} \approx 0,5005$.

Статистической вероятностью случайного события $A$ называется число $P ( A )$, к которому приближается относительная частота $W ( A )$ в длинной серии экспериментов.

С математической точки зрения данную формулировку нельзя назвать определением. Во-первых, где гарантия, что относительная частота вообще будет к чему-то «приближаться»? Во-вторых, насколько длинной должна быть сама серия, чтобы полученная в ней частота достаточно хорошо приближала вероятность? И так далее. Получается, что точно найти вероятность с помощью этого определения нельзя. Тем не менее оно даёт возможность приближённо оценить вероятность по частоте – причём тем точнее, чем длиннее серия проведённых экспериментов.

Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются. Сколько примерно бракованных окажется среди 2400 деталей?

Решение 

Обозначим событие A – наугад выбранная деталь бракованная. Тогда статистическая вероятность примерно равна $\mathit{P} ( \mathit{A} ) \approx \mathit{W} ( \mathit{A} ) = 0,004$. 

Пусть среди 2400 деталей x бракованных. Тогда 

$\frac{𝑥}{2400} \approx 0,004 \Rightarrow 𝑥 \approx 10$. 

Ответ: $\approx 10$.

При стрельбе по мишени относительная частота попаданий $W = 0,75$. Найти примерное число попаданий при 40 выстрелах.

Решение 

$\mathit{P} ( \mathit{A} ) \approx \mathit{W} ( \mathit{A} ) = 0,75$. Пусть при 40 выстрелах x попаданий. Тогда 

$\frac{𝑥}{40} \approx 0,75 \Rightarrow 𝑥 \approx 30$. 

Ответ: $30$. 

1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите относительную частоту изготовления бракован­ных изделий.
2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова относительная частота нормального всхода семян?
3. Найдите относительную частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
4. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: 

а) шатеном; 

б) рыжим; 

в) не рыжим.