Конспект урока: Вычисление интегралов

Напомним, интегралом (определенным интегралом) от функции $f ( x )$ на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ называют предел интегральной суммы функции $f ( x )$ на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ при стремлении к нулю наибольшей из длин отрезков, на которые разбит отрезок $[ a ; b \left]\right.$. Так как интегральную сумму можно вычислить только приблизительно, то и интеграл с ее помощью также вычисляется не точно. Такой способ требует громоздких вычислений. Обычно он применим тогда, когда не могут найти первообразную функции $f ( x )$ и для вычислений используют специальные компьютерные программы. Если же первообразная известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Введем обозначение:

$F ( b ) - F ( a ) = F \left(\left.( x )\right|\right)_{a}^{b}$.

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать так

$\int_{a}^{b} f ( x ) d x = F \left(\left.( x )\right|\right)_{a}^{b}$.

Вычислить интеграл $\int_{1}^{4} ( x - 3 ) d x$.

Решение

$\int_{1}^{4} ( x - 3 ) d x = \left(\left.\left(\frac{x^{2}}{2} - 3 x\right)\right|\right)_{1}^{4} = \left(\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4\right) - \left(\frac{1^{2}}{2} - 3 \cdot 1\right) = - 4 + 2,5 = - 1,5$.

Ответ: -1,5.

Вычислить интеграл $\int_{- t}^{t} \cos x d x$.

Решение

$\int_{- t}^{t} \cos x d x = \sin x |_{- t}^{t} = \sin t - ( \sin ( - t ) ) = \sin t + \sin t = 2 \sin t$.

Ответ: $2 \sin t$.

Вычислить интеграл $\int_{2}^{10} \frac{4}{\sqrt{2 x + 5}} d x$.

Решение

$\int_{2}^{10} \frac{4}{\sqrt{2 x + 5}} d x = \int_{2}^{10} 4 \cdot \left( 2 x + 5 \right)^{- \frac{1}{2}} d x = 4 \cdot \left(\left.\frac{\left( 2 x + 5 \right)^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{2}}\right|\right)_{2}^{10} = \left.4 \sqrt{2 x + 5}\right|_{2}^{10} = 4 \left(5 - 3\right) = 8$.

Ответ: 8.

Вычислить интеграл $\int_{- \frac{\text{п}}{2}}^{0} \cos \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right) d x$.

Решение

$\int_{- \frac{\text{п}}{2}}^{0} \cos \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right) d x = \left(\left.\frac{1}{2} \sin \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right)\right|\right)_{- \frac{\text{п}}{2}}^{0} = \frac{1}{2} \left(\sin \frac{\pi}{3} - \sin \left(- \pi + \frac{\pi}{3}\right)\right) =$

 $= \frac{1}{2} \left(\sin \frac{\pi}{3} + \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислить интеграл $\int_{0}^{3} x^{2} \sqrt{x + 1} d x$.

Решение

 $\int_{0}^{3} x^{2} \sqrt{x + 1} d x = \int_{0}^{3} ( ( x + 1 ) - 1 )^{2} \sqrt{x + 1} d x =$

$= \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} ( ( x + 1 )^{2} - 2 ( x + 1 ) + 1 ) d x =$

$= \int_{0}^{3} \left( x + 1 )^{\frac{5}{2}} - 2 ( x + 1 )^{\frac{3}{2}} + ( x + 1 )^{\frac{1}{2}}\right) d x =$

$= \left(\left.\left(\frac{2}{7} \left( x + 1 \right)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} ( x + 1 )^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} ( x + 1 )^{\frac{3}{2}}\right)\right|\right)_{0}^{3} =$

$= \left(\left.( x + 1 )^{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{7} ( x + 1 )^{2} - \frac{4}{5} ( x + 1 ) + \frac{2}{3}\right)\right|\right)_{0}^{3} =$

$= \left(\left.( x + 1 )^{\frac{3}{2}} \frac{2}{105} ( 15 x^{2} - 12 x + 8 )\right|\right)_{0}^{3} =$

$= \frac{2}{105} \cdot ( 8 \cdot ( 135 - 36 + 8 ) - 1 \cdot 8 ) = 16 \frac{16}{105}$.

Ответ: $16 \frac{16}{105}$.

Вычислить интеграл:

1. $\int_{- 2}^{2} ( x^{2} + 3 ) d x$;

2. $\int_{0}^{3} 3 e^{4 x} d x$;

3. $\int_{1}^{9} \frac{3 x - 1}{\sqrt{x}} x d x$;

4. $\int_{\frac{\text{п}}{2}}^{\frac{3 \pi}{4}} \left(\cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x\right) d x$