Конспект урока: Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос

Центральная симметрия

При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскость – в плоскость. Можно доказать, что при движении сохраняются и углы между прямыми. 

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Пусть точка $O$ является центром симметрии. Введём прямоугольную систему координат $O x y z$ с началом в точке $O$. При центральной симметрии с центром $O ( 0 ; 0 ; 0 )$, точка $M ( x ; y ; z )$ перейдёт в симметричную ей точку $M_{1} ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$. Если точки $M$ и $O$ не совпадают, то точка $O$ является срединой отрезка $M M_{1}$.

По формулам координат середины отрезка, получаем

$\frac{x + x_{1}}{2} = 0$, $\frac{y + y_{1}}{2} = 0$, $\frac{z + z_{1}}{2} = 0$.

Отсюда следует, что $x_{1} = - x$, $y_{1} = - y$, $z_{1} = - z$. 

Эти формулы верны и в случае, когда точки $M$ и $O$ совпадают (объясните самостоятельно почему). Таким образом, при центральной симметрии соответствующие координаты симметричных точек противоположны.

Рассмотрим теперь две произвольные точки $A ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$ и $B ( x_{2} ; y_{2} ; z_{2} )$.

При центральной симметрии они перейдут соответственно в $A_{1} ( - x_{1} ; - y_{1} ; - z_{1} )$ и $B_{1} ( - x_{2} ; - y_{2} ; - z_{2} )$. Докажем, что $A B = A_{1} B_{1}$.

Найдем расстояния $A B$ и $A_{1} B_{1}$.

$A B = \sqrt{\left(x_{2} - x_{1}\right)^{2} + \left(y_{2} - y_{1}\right)^{2} + \left(z_{2} - z_{1}\right)^{2}}$

$A_{1} B_{1} = \sqrt{\left(- x_{2} - \left(- x_{1}\right)\right)^{2} + \left(- y_{2} - \left(- y_{1}\right)\right)^{2} + \left(- z_{2} - \left(- z_{1}\right)\right)^{2}} =$

$=\sqrt{\left(-x_2+x_1^{}\right)^2+\left(-y_2+y_1\right)^2+\left(-z_2+z_1\right)^2}=AB$.

Таким образом, центральная симметрия является движением. Что и требовалось доказать.

Осевая симметрия

Докажем, что осевая симметрия является движением.

Пусть в прямоугольной системе координат $O x y z$ ось $O z$ является осью симметрии. Тогда некоторая точка $M ( x ; y ; z )$ перейдёт в симметричную относительно оси $O z$ точку $M_{1} ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$. Если точка $M$ не лежит на оси $O z$, то ось $O z$ проходит через середину отрезка $M M_{1}$ и перпендикулярна к нему. Из этого следует

$\frac{x + x_{1}}{2} = 0 , \frac{y + y_{1}}{2} = 0 , z_{1} = z \Rightarrow x_{1} = - x , y_{1} = - y , z_{1} = z$.

Эти формулы верны и в случае, когда точка $M$ лежит на оси $O z$ (объясните самостоятельно почему).

Рассмотрим теперь две произвольные точки $A ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$ и $B ( x_{2} ; y_{2} ; z_{2} )$.

При осевой симметрии они перейдут соответственно в 

$A_{1} ( - x_{1} ; - y_{1} ; z_{1} )$ и $B_{1} ( - x_{2} ; - y_{2} ; z_{2} )$. Найдем расстояния $A B$ и $A_{1} B_{1}$.

$A B = \sqrt{\left(x_{2} - x_{1}\right)^{2} + \left(y_{2} - y_{1}\right)^{2} + \left(z_{2} - z_{1}\right)^{2}}$

$A_{1} B_{1} = \sqrt{\left(- x_{2} - \left(- x_{1}\right)\right)^{2} + \left(- y_{2} - \left(- y_{1}\right)\right)^{2} + \left(z_{2} - z_{1}\right)^{2}} =$

$= \sqrt{\left(- x_{2} + x_{1}\right)^{2} + \left(- y_{2} + y_{1}\right)^{2} + \left(z_{2} - z_{1}\right)^{2}}$.

Видим, что $A B = A_{1} B_{1}$. Значит, осевая симметрия является движением. Что и требовалось доказать.

Зеркальная симметрия

Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

Пусть в прямоугольной системе координат $O x y z$ плоскость $O x y$ является плоскостью симметрии. Тогда некоторая точка $M ( x ; y ; z )$ перейдёт в симметричную относительно плоскости $O x y$ точку $M_{1} ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$. Если точка $M$ не лежит в плоскости $O x y$, то плоскость $O x y$ проходит через середину отрезка $M M_{1}$ и перпендикулярна к нему ($M M_{1}$ параллелен оси $O z$). Из этого следует

$x_{1} = x , y_{1} = y , \frac{z + z_{1}}{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = x , y_{1} = y , z_{1} = - z$.

Полученные формулы верны и в случае, когда точка $M$ лежит в плоскости $O x y$ (объясните самостоятельно почему). 

Рассмотрим теперь две произвольные точки $A ( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$ и $B ( x_{2} ; y_{2} ; z_{2} )$.

При зеркальной симметрии они перейдут соответственно в $A_{1} ( x_{1} ; y_{1} ; - z_{1} )$

и $B_{1} ( x_{2} ; y_{2} ; - z_{2} )$. Найдем расстояния $A B$ и $A_{1} B_{1}$.

$A B = \sqrt{\left(x_{2} - x_{1}\right)^{2} + \left(y_{2} - y_{1}\right)^{2} + \left(z_{2} - z_{1}\right)^{2}}$

$A_{1} B_{1} = \sqrt{\left(x_{2} - x_{1}\right)^{2} + \left(y_{2} - y_{1}\right)^{2} + \left(- z_{2} - \left(- z_{1}\right)\right)^{2}} =$

$= \sqrt{\left(x_{2} - x_{1}\right)^{2} + \left(y_{2} - y_{1}\right)^{2} + \left(- z_{2} + z_{1}\right)^{2}}$.

Получили, что $A B = A_{1} B_{1}$. Значит, зеркальная симметрия является движением. Что и требовалось доказать.

Параллельный перенос

Определение 5

Рис. 1.

Параллельным переносом на вектор $\overrightarrow{p}$ называется такое преобразование, при котором любая точка $M$ переходит в точку $M_{1}$ такую, что $\overrightarrow{M M_{1}} = \overrightarrow{p}$ (Рис. 1). 

Рис. 2.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$. При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{p}$ эти точки перейдут в точки $A_{1}$ и $B_{1}$ такие, что $\overrightarrow{A A_{1}} = \overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{B B_{1}} = \overrightarrow{p}$ (рис. 2).

 

По правилу треугольника $\overrightarrow{A B_{1}} = \overrightarrow{A A_{1}} + \overrightarrow{A_{1} B_{1}}$ и $\overrightarrow{A B_{1}} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B_{1}}$.

При этом $\overrightarrow{A A_{1}} = \overrightarrow{B B_{1}} \Rightarrow \overrightarrow{A_{1} B_{1}} = \overrightarrow{A B} \Rightarrow A_{1} B_{1} = A B$. Таким образом, при параллельном переносе сохраняется между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением. Что и требовалось доказать.