- Отношение
- Основное свойство отношения
- Смысл числового значения отношения
- Знать понятие «отношение», основное свойство отношения, масштаб.
- Уметь находить отношения величин, решать задачи по теме «масштаб».
- Как узнать, во сколько раз одно число больше другого?
- Каким арифметическим действием можно заменить черту дроби?
Отношения
Когда в задачах спрашивается «во сколько раз больше/во сколько раз меньше» одна величина, чем другая, имеют в виду нахождение отношения этих величин.
Частное двух чисел $a$ и $b ,$ отличных от нуля, называют отношением чисел $a$ и $b ,$ или отношением числа $a$ к числу $b .$
Отношение чисел $a$ и $b$ можно записать как $a : b$ или $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — члены отношения, число $a$ называется предыдущим членом, $b$ — последующим.
Если числа $a$ и $b$ натуральные или являются десятичными дробями, то их отношение удобнее записать в виде дроби. Если числа $a$ и $b$ смешанные или обыкновенные дроби, то их отношение удобнее записать как частное с помощью знака “ : ”. Например:
$\frac{1,4}{6} ; \frac{2}{3} ; 2 \frac{3}{7} : \frac{1}{2} .$
Используя основное свойство дроби, мы можем умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, не равное нулю. Так как отношение записывается в виде дроби, то и на него распространяется это свойство.
Основное свойство отношения
Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Например:
$\frac{3,4}{2,3} = \frac{3,4 \cdot 10}{2,3 \cdot 10} = \frac{34}{23} ; \frac{2}{5} : \frac{3}{7} = ( \frac{2}{5} \cdot 35 ) : ( \frac{3}{7} \cdot 35 ) = 14 : 15 .$
Эти примеры показывают, что отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел.
Пример 1
Найдите отношение 4,5 дм к 9 см.
Решение
Найдем частное этих величин, для чего выразим их в одинаковых единицах измерения и выполним деление.
4,5 дм : 9 см = 45 см : 9 см = 5.
Ответ: 5.
Пример 2
Замените отношение $\frac{3}{4} : \frac{5}{18}$ отношением натуральных чисел.
Решение
Умножим каждую из дробей на их наименьший общий знаменатель 36:
$\frac{3}{4} : \frac{5}{18} = ( \frac{3 \cdot 36}{4} ) : ( \frac{5 \cdot 36}{18} ) = 27 : 10$.
Ответ: 27 : 10.
Пример 3
Отношение чисел $a$ и $b$ равно $4 \frac{1}{4}$. Найдите отношение $\frac{a + b}{a}$.
Решение
$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$.
Так как $\frac{a}{b} = 4 \frac{1}{4}$, то $\frac{b}{a} = \frac{4}{17}$.
Тогда $\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{4}{17} = 1 \frac{4}{17}$.
Ответ: $1 \frac{4}{17}$.
Смысл числового значения отношений
Отношение чисел $a$ и $b$ показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ или какую часть число $a$ составляет от числа $b .$
Пример 4
Мешок с красными яблоками весит 20 кг, а мешок с зелёными весит 10 кг. Во сколько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелёными? Какую часть от красных яблок составляют зелёные?
Решение
1) $20$ кг$: 10$ кг $= 2$ — во столько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелеными.
2) $10$ кг $: 20$ кг $= \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ — такую часть красных яблок составляют зеленые.
Ответ: в 2 раза; $\frac{1}{2}$ часть.
Рис. 1. Карта и масштаб
Понятие отношения встречается в разных величинах, например, скорость — это отношение пути к затраченному времени; цена — это отношение стоимости товара к его количеству; масштаб — отношение длины выбранного отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. На рис. 1 изображена карта с масштабом 1 : 100 000. Это значит, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности (100 000см = 1 км). Если необходимо найти расстояние между двумя объектами, между которыми на карте 2 см, нужно расстояние на карте умножить на 100 000.
$2$ см $\cdot 100 000 = 200 000$ см $= 2$ км.
Пример 5
Расстояние между двумя городами на местности равно 405 км, а на карте — 4,5 см. Найдите масштаб карты.
Решение
Для того, чтобы найти масштаб, найдем отношение расстояний на карте и на местности.
405 км = 405 000 м = 40 500 000 см
4,5 : 40 500 000 = 1 : 9 000 000.
Масштаб карты 1 : 9 000 000.
Ответ: 1 : 9 000 000.
Упражнения
1. Найдите отношение:
1) 2,4 : 0,06; 2) 1,6 : 4,8; 3) 2,7 : 72; 4) 2 дм : 4 см;
5) 14 м : 1,4 км; 6) 12 кг : 240 г.
2. Расстояние на карте между двумя городами равно 2,4 см. Каково расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты равен 1 : 400 000?
3. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел:
1) $1 : \frac{4}{7}$; 2) $\frac{1}{6} : \frac{3}{4}$; 3) $0,6 : 0,04$.
Контрольные вопросы
1. Что такое отношение?
2. Что показывает отношение?
3. Какими способами можно записать отношение?
4. Назовите величину, являющуюся отношением двух других величин. Приведите 2 примера.
5. Что обозначает масштаб 1 : 3 000 000?
1. 1) 40; 2) 0,(3) или $\frac{1}{3}$; 3) 0,0375; 4) 5; 5) 0,01; 6) 50.
2. 960 000 см = 9,6 км.
3. 1) 7:4; 2) 2:9; 3) 15:1
