Конспект урока: Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Деление числа в данном отношении

Прямая пропорциональная зависимость 

За 2 кг овощей заплатили 90 рублей. Сколько будет стоит 6 кг таких же овощей? Очевидно, что 1 кг стоит 45 рублей, тогда 6 кг — 270 рублей. Заметим, что овощей купили в 3 раза больше (6 : 2 = 3), и стоимость покупки стала, также, в 3 раза больше (270 : 90 = 3). Проведя такие же вычисления, например, узнав стоимость 10 кг этих же овощей, можно сделать вывод: во сколько раз увеличивается количество купленного товара, во столько же раз увеличивается и стоимость всей покупки. В данной задаче количество и стоимость являются переменными величинами, а сама зависимость между ними называется прямой пропорциональной зависимостью.

Примерами прямо пропорциональных величин являются количество и стоимость; цена и стоимость; скорость и расстояние; время и расстояние; объем и масса и др.

Рассмотрим пример. Стальной шарик имеет массу 35 г. Какую массу имеют 2 таких шарика? 3 шарика? 4 шарика?

Найдем отношение количества шариков к их общей массе, если возможно, сократим получившиеся дроби:

$\frac{1}{35} ; \frac{2}{70} = \frac{1}{35} ; \frac{3}{105} = \frac{1}{35} ; \frac{4}{140} = \frac{1}{35} .$

Свойство прямо пропорциональных переменных величин

Обратная пропорциональная зависимость

Ваня ехал из Твери в Москву. Расстояние между городами 170 км. Если он поедет на мотоцикле со скоростью 42,5 км/ч, то он приедет в Москву через 4 часа. А если он поедет на автомобиле со скоростью 85 км/ч, то время в пути составит 2 часа. Обратим внимание, что при увеличении скорости в 2 раза, время в пути уменьшается в 2 раза: чем больше скорость, тем меньше время. Такая зависимость называется обратно пропорциональной зависимостью.

Грузчикам необходимо перевезти 24 т строительных материалов. Если они будут перевозить его на машине грузоподъемностью 6 т, то нужно будет сделать 4 рейса. Если грузоподъемность 8 т, то потребуется 3 рейса. Грузоподъемность увеличилась в  $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ раз. Количество рейсов же уменьшилось в $\frac{4}{3}$ раза: $4 : 3 = \frac{4}{3}$. Видим, что грузоподъемность и количество рейсов — обратно пропорциональные величины.

Сколько рейсов нужно совершить, чтобы перевести 24 т строительных материалов, если использовать машину грузоподъемностью 2 т, 3 т, 4 т, 12 т, 24 т?

Во всех случаях произведение грузоподъемности и количества рейсов имеет одинаковое числовое значение, что иллюстрирует свойство обратно пропорциональных переменных величин:

Свойство обратно пропорциональных переменных величин

Решение

Найдем отношение известной нам пары соответствующих значений величин $a$ и $b :$ $\frac{6}{1,5} = 4 .$

Чтобы найти значение $b$ во втором столбце, умножим 4,1 на 4: $4,1 \cdot 4 = 16,4$, чтобы найти $a$ в третьем столбце, разделим 4,2 на 4: $4,2 : 4 = 1,05$.

Ответ: 

Решение

Во сколько раз увеличилось количество тракторов, во столько же раз уменьшится время их работы при условии, что производительность останется той же. Количество тракторов увеличилось в 2 раза. Значит время работы уменьшится в 2 раза:

$6 : 2 = 3$ дня.

Ответ: 3 дня.

Деление числа в данном отношении

В компотной смеси масса яблок относится к массе слив как 3 : 1. Сколько граммов слив и яблок в компотной смеси весом 2400 г?

Запись 3 : 1 обозначает, что на 3 части яблок приходится 1 часть слив. Будем считать, что компотная смесь состоит из  частей, имеющих одинаковые массы. Масса одной части $2400 : 4 = 600$ г. Так как яблок в смеси 3 части, а слив — 1 часть, то $3 \cdot 600 = 1800$ г — масса яблок, $1 \cdot 600 = 600$ г — масса слив.

Ответ: 600 г, 1800 г.

Эту задачу можно решить другим способом.
Пусть $x$ г — масса одной части.
Тогда $3 x$ г — масса яблок,

$x$ г — масса слив. 

Составим и решим уравнение:

1) $3 x + x = 2400$

$4 x = 2400 | : 4$

$x = 600 .$
Масса 1 части — 600 г.

2) $3 \cdot 600 = 1800$(г) — яблок.

3) $1 \cdot 600 = 600$ (г) — слив.

Ответ: 600 г, 1800 г.

Из решения задачи следует, что число 2400 можно представить в виде суммы чисел 1800 и 600, отношение которых равно 3 к 1. В таком случае говорят, что число 2400 разделили в отношении 3 : 1. Также можно сказать, что число 2400 представили в виду суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 3 и 1.

Решение

Так как квалификация и производительность труда маляров не отличаются друг от друга, то час работы каждого маляра стоит одинаково. Пусть $x$ рублей — стоимость часа работы. Тогда $8 x$ рублей — получит первый маляр, $24 x$ рублей — второй маляр, $32 x$ рублей — третий маляр. По условию в сумме они получили 16 000 рублей. Составим и решим уравнение:

$8 x + 24 x + 32 x = 16000$;

$64 x = 16000$;

$x = 250$.

250 рублей — стоимость часа работы.

2) $8 \cdot 250 = 2000$ (руб.) — получил первый маляр.

3) $24 \cdot 250 = 6000$ (руб.) — получил второй маляр.

4) $32 \cdot 250 = 8000$ (руб.) — получил третий маляр.

Ответ: 2000 рублей; 6000 рублей: 8000 рублей.

Решая данную задачу, мы разделили число 16 000 на три слагаемых, пропорциональных числам 8, 24 и 32. Также говорят, что число 16 000 поделили в отношении 8 : 24 : 32. Отношение «8 : 24 : 32» читают как «восемь к двадцати четырем и к тридцати двум».