Конспект урока: График функций

График функции

При рассмотрении этой темы необходимо знать:

1. зависимость одной переменной от другой называется функцией, если каждому значению независимой переменной ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной, т. е. рассматриваются пары чисел;
2. положение точки на координатной плоскости также задаётся парой чисел (координаты точки: абсцисса и ордината).

На эти два изученных ранее факта опирается важное понятие — график функции.

Важно помнить названия переменных:

Следует отметить, что для обозначения функциональной зависимости могут применяться и другие буквы латинского алфавита.

Построить график функции $y = 3 x + 2$.

Решение

1. Выбираем любые значения независимой переменной $x$, подставляем в формулу и вычисляем значения зависимой переменной $y$:

если $x = - 3$, то $y = 3 \cdot ( - 3 ) + 2 = - 7$;

если $x = - 2$, то $y = 3 \cdot ( - 2 ) + 2 = - 4$;

если $x = - 1$, то $y = 3 \cdot ( - 1 ) + 2 = - 1$;

если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 + 2 = 2$;

если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 + 2 = 5$;

если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 + 2 = 8$ и т. д.

2. Составим таблицу значений аргумента и функции:

Рис. 1. График функции y=3x+2

 

3. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (-3; -7), (-2; -4), 

(-1; -1), (0; 2), (1; 5), (2; 8).

 

Проведём через эти точки линию, получим график функции $y = 3 x + 2$ (рис. 1).

С помощью графика функции, изображённого на рисунке 2, определите: 

а) значение функции при значении аргумента, равного 4; 

б) значение аргумента при значении функции, равного 5.   

Решение

Рис. 2. График функции

а) Дано значение аргумента, т. е. $x = 4 .$ Найдём на оси $x$ точку, соответствующую числу 4, проведём через эту точку прямую, перпендикулярную к оси $x$, получим точку пересечения перпендикуляра с графиком. От полученной на графике точки проводим перпендикуляр к оси $y$, получим на ней  число -3, значит, $y = - 3$ и есть искомое значение функции. 

 

б) Дано значение функции, т. е. $y = 5$. Найдём на оси $y$ точку, соответствующую числу 5, проведём через эту точку прямую, перпендикулярную к оси $y$, получим точки пересечения перпендикуляра с графиком. От каждой из полученных на графике точек проводим перпендикуляры к оси $x$, получим числа -3 и 7, значит, $x = - 3$и $x = 7$ и есть искомые значения аргумента.

Ответ: а) -3; б) -3; 7.

Бывают случаи, когда для ответа на вопрос изображение графика функции не требуется. 

Проходит ли график функции $y = x^{2} + 5$

а) через точку $M ( - 20 ; 405 ) ;$

б) через точку $K ( 30 ; 1005 ) .$

Решение

Вспомним правило записи координат точки: $( x ; y )$, т. е. первое число — это значение абсциссы (аргумента), второе число — это значение ординаты (значение функции).

а) $M ( - 20 ; 405 )$ значит, $x = - 20 , y = 405$.

Подставим значения переменных в формулу:

$y = x^{2} + 5$.

$405 = \left( - 20 \right)^{2} + 5$,

$405 = 405$ — верное равенство, значит, график функции проходит через точку $M$.

б) $K ( 30 ; 1005 )$, значит, $x = 30 , y = 1005$.

Подставим значения переменных в формулу:

$y = x^{2} + 5 .$

$1005 = 30^{2} + 5$,

$1005 = 905$- неверное равенство, значит, график функции не проходит через точку $K$.

Ответ: а) да; б) нет.

1. Постройте график функции $y = x ( x – 2 )$ при $- 2 \leq x \leq 4$.

Рис. 3. График функции

2. Выберите из точек $A ( 1 ; 5 ) , B ( 20 ; \frac{11}{5} ) , C ( - 3 ; \frac{1}{3} )$ те, которые принадлежат графику функции $y = \frac{x + 4}{x}$.

 

3. С помощью графика функции, изображённого на рисунке 3, найдите: 

 

а) значение функции при значении аргумента, равного -2; 

б) значение аргумента при значении функции, равного -4. 

Ответы

Упражнение 1

 

1.

Рис. 4. Упражнение 1. Ответ

2. А.

3. а) 4; б) 3.