- Функция $y = x^{2}$, её график и свойства
- Функция $y = x^{3}$, её график и свойства
- Графический способ решения уравнений
- Уметь строить графики функций $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$
- Уметь решать графическим способом уравнения вида $x^{2} = k x + b$ и $x^{3} = k x + b$ (где $k$ и $b$ — некоторые числа)
- Что такое функция?
- Что называется графиком функции?
- Какая функция называется линейной?
- Что является графиком линейной функции?
- Что является графиком прямой пропорциональности?
Функция $y = x^{2}$, её график и свойства
Примером функции $y = x^{2}$ является зависимость площади квадрата от его стороны $( S = a^{2} )$.
Построим график функции $y = x^{2}$.
Составим таблицу значений аргумента и функции:
Рис. 1. График квадратичной функции
Построим точки с полученными координатами и проведём через них плавную линию (рис. 1).
График функции $y = x^{2}$ называют параболой.
Свойства функции $y = x^{2}$
- Если $x = 0$, то $y = 0$.
- Если $x \neq 0$, то $y > 0$.
- Противоположным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$.
Функция $y = x^{3}$, её график и свойства
Примером функции $y = x^{3}$ является зависимость объёма куба от его ребра $( V = a^{3} ) .$
Построим график функции $y = x^{3}$.
Составим таблицу значений аргумента и функции:
Рис. 2. График кубической функции
Построим точки с полученными координатами и проведём через них плавную линию (рис. 2).
График функции $y = x^{3}$ называют кубической параболой.
Свойства функции $y = x^{3}$
- Если $x = 0$, то $y = 0$.
- Если $x > 0$, то $y > 0$; если $x < 0$, то $y < 0$.
- Противоположным значениям $x$ соответствуют противоположные значения $y$.
Графический способ решения уравнений
Суть решения уравнений графическим способом заключается в следующем:
- Задать с помощью формул две функции: одна функция записывается с помощью выражения из левой части данного уравнения, вторая функция — из правой части.
- Построить графики этих функций в одной системе координат.
- Найти точки пересечения графиков — сколько точек пересечения, столько корней имеет данное уравнение. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения.
- Записать ответ.
Пример 1
Решите графически уравнение $x^{2} = 3 – 2 x$.
Решение
1. Рассмотрим две функции: $y = x^{2}$ и $y = 3 – 2 x$:
$y = x^{2}$ - графиком этой функции является парабола.
$y = 3 – 2 x$ - линейная функция, графиком является прямая.
2. Составим таблицы значений аргумента и функции:
Рис. 3. Графический способ решения уравнения
Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 3).
3. Графики пересекаются в двух точках: (-3; 9) и (1; 1). Абсциссы этих точек и есть корни данного в условии уравнения.
$x_{1} = - 3 , x_{2} = 1$.
Ответ: -3; 1.
Упражнение 1
1. Найдите значение функции $y = x^{3}$, которое соответствует заданному значению аргумента:
а) – 3;
б) 4;
в) 10.
2. Найдите значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции $y = x^{2}$:
а) 16;
б) 25;
в) 0,01.
3. Принадлежит ли графику функции $y = x^{2}$ точка
а) $A ( 25 ; 625 )$;
б) $B ( - 1,3 ; - 1,69 )$.
4. Принадлежит ли графику функции $y = x^{3}$ точка
а) $A ( 5 ; 125 )$;
б) $B ( - 1 ; 1 )$.
5. Решите графически уравнение:
а) $x^{2} = - 4 x – 3$;
б) $x^{2} + x + 3 = 0$;
в) $x^{3} - x = 0$.
Контрольные вопросы
- Постройте график функции $y = x^{2}$.
- Постройте график функции $y = x^{3}$.
- Объясните, как решить уравнение графическим способом.
Упражнение 1
- а) – 27; б) 64; в) 1000.
- а) – 4 и 4; б) – 5 и 5; в) -0,1 и 0,1.
- а) да; б) нет.
- а) да; б) нет.
- а) -3; -1; б) корней нет; в) -1; 0; 1.
