Конспект урока: Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножение разности двух выражений на их сумму.

Мы уже изучили четыре формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их:

Теперь пришло время познакомиться с ещё одной формулой.

Эта формула позволит быстро умножить разность и сумму одних и тех же выражений $a$ и $b$. Выведем эту формулу двумя способами.

1 способ. Алгебраический.

Умножим разность выражений $a - b$ на их сумму $a + b$ по правилу умножения многочленов. Получим:

$( a - b ) ( a + b ) = a^{2} + a b - b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}$.

2 способ. Геометрический.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы

Пусть $a$ и $b$ - некоторые положительные числа, такие, что $a > b$. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a + b$ и $a - b$ (рис.1 слева). Площадь такого прямоугольника будет равна произведению $( a - b ) ( a + b )$. Теперь отрежем прямоугольник со сторонами $b$ и $a - b$ и приложим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 1 справа. Очевидно, что полученная фигура будет иметь ту же площадь, что и первоначальный прямоугольник.  Но, с другой стороны, эту новую фигуру можно построить следующим способом: из квадрата со стороной равной $a$ вырезать квадрат со стороной равной $b$. Значит, площадь новой фигуры будет равна $a^{2} - b^{2}$. Таким образом, получили, что $( a - b ) ( a + b ) = a^{2} - b^{2}$.  

 

Приведем примеры применения этой формулы.

Выполните умножение:

а) $( x - 5 ) ( x + 5 )$

б) $( 3 x - 2 y ) ( 3 x + 2 y )$

в) $( x^{2} - y^{3} ) ( x^{2} + y^{3} )$

г) $( \frac{1}{3} x - y ) ( y + \frac{1}{3} x )$

Решение

а) Нужно умножить разность $x$ и 5 на их сумму. Воспользуемся формулой:

Роль $a$ будет выполнять $x$, а роль $b$ выполняет 5. Тогда:

$( x - 5 ) ( x + 5 ) = x^{2} - 25$.

б) В данном примере нужно перемножить разность и сумму $3 x$ и $2 y$. По формуле получим:

$( 3 x - 2 y ) ( 3 x + 2 y ) = \left( 3 x \right)^{2} - \left( 2 y \right)^{2} = 9 x^{2} - 4 y^{2}$.

в) Аналогичным образом перемножим разность и сумму $x^{2}$ и $y^{3}$. Вспомним, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.

$( x^{2} - y^{3} ) ( x^{2} + y^{3} ) = \left( x^{2} \right)^{2} - \left( y^{3} \right)^{2} = x^{4} - y^{6}$.

г) Применим переместительное свойство сложения и раскроем скобки, используя формулу:

$( \frac{1}{3} x - y ) ( y + \frac{1}{3} x ) = ( \frac{1}{3} x - y ) ( \frac{1}{3} x + y ) = \left( \frac{1}{3} x \right)^{2} - \left( y \right)^{2} = \frac{1}{9} x^{2} - y^{2}$.

Впишите вместо знака $\star$ одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

а) $( 2 x + \star ) ( 2 x - \star ) = 4 x^{2} - 100 y^{4}$

б) $( \star - 3 x ) ( 3 x + \star ) = 0,04 y^{2} - 9 x^{2}$

Решение

а) Воспользуемся формулой произведения разности двух выражений на их сумму. Очевидно, что роль $a$ будет выполнять $2 x$. Тогда роль $b$ выполняет $\star$. После возведения в квадрат получили $100 y^{4}$. Так как $\left( 10 y^{2} \right)^{2} = 100 y^{4}$, то $\star = 10 y^{2}$.

б) Аналогичным образом находим, что $0,04 y^{2}$ – это $0,2 y$, возведенный в квадрат. Так как $0,04 y^{2} = \left( 0,2 y \right)^{2}$, то $\star = 0,2 y$.

Найдите значение выражения:

а) $27 \cdot 33$

б) $68 \cdot 72$

Решение

а) Нам нужно представить числа 27 и 33 в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Очевидно, что 27=30-3, а 33=30+3. Тогда по формуле умножения разности двух выражений на их сумму находим:

$27 \cdot 33 = ( 30 - 3 ) ( 30 + 3 ) = 30^{2} - 3^{2} = 900 - 9 = 891$.

б) В этом примере найдем представление в виде суммы и разности для чисел 68 и 72. Понятно, что 68=70-2, а 72=70+2. Тогда:

$68 \cdot 72 = ( 70 - 2 ) ( 70 + 2 ) = 70^{2} - 2^{2} = 4900 - 4 = 4896$.

1. Выполните умножение:

а) $( x - 7 ) ( x + 7 )$

б) $( 4 x - y ) ( 4 x + y )$

в) $( x^{3} - y^{4} ) ( x^{3} + y^{4} )$

г) $( \frac{1}{8} x + y ) ( y - \frac{1}{8} x )$

2. Впишите вместо знака $\star$ одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

а) $( 4 x + \star ) ( 4 x - \star ) = 16 x^{2} - \frac{1}{4} y^{2}$

б) $( \star - 7 x ) ( 7 x + \star ) = 0,01 y^{8} - 49 x^{2}$

3. Найдите значение выражения:

а) $201 \cdot 199$

б) $84 \cdot 76$