Конспект урока: Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

Мы уже говорили о важности умения раскладывать многочлены на множители. Пока мы изучили два метода для решения этой задачи. Это вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Сегодня мы научимся раскладывать многочлены на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

До этого мы применяли эти формулы только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Однако, эти формулы можно использовать и для разложения на множители многочленов вида $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ или $a^{2} - 2 a b + b^{2}$. 

Действительно, если формулы записать наоборот, то получим:

Это означает, что любой многочлен вида $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ можно разложить на множители как $\left(a + b\right) \left(a + b\right)$, а многочлен вида $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ можно представить в виде произведения $\left(a - b\right) \left(a - b\right)$.

Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах.

Разложите на множители:

а) $4 x^{2} + 4 x y + y^{2}$

б) $x^{2} - 10 x + 25$

в) $x^{4} + 12 x^{2} y^{3} + 36 y^{6}$

г) $24xy-16x^2-9y^2$

Решение

а) Заметим, что первый член многочлена является квадратом выражения $2 x$, третий член многочлена — это $y$, возведенный в квадрат. Второй член многочлена $4 x y$ может быть представлен как удвоенное произведение $2 x$ и $y$. Значит, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$4 x^{2} + 4 x y + y^{2} = \left( 2 x \right)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot y + y^{2} = \left( 2 x + y \right)^{2} = \left(2 x + y\right) \left(2 x + y\right)$.

б) Этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений:

$x^{2} - 10 x + 25 = \left( x \right)^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = \left( x - 5 \right)^{2} = \left(x - 5\right) \left(x - 5\right)$. 

в) Заметим, что $x^{4}$ — это квадрат одночлена $x^{2}$; $36 y^{6}$ — это квадрат $6 y^{3}$; $12 x^{2} y^{3}$ можно представить как удвоенное произведение $x^{2}$ и $6 y^{3}$. Многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$x^{4} + 12 x^{2} y^{3} + 36 y^{6} = \left(x^{2}\right)^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 6 y^{3} + \left(6 y^{3}\right)^{2} = \left(x^{2} + 6 y^{3}\right)^{2} =$

$= \left(x^{2} + 6 y^{3}\right) \left(x^{2} + 6 y^{3}\right)$. 

г) В этом многочлене поменяем слагаемые местами и вынесем знак «минус» вперёд:

$24 x y - 16 x^{2} - 9 y^{2} = - ( 16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2} )$. 

Теперь можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

$24xy-16x^2-9y^2=-\left(16x^2-24xy+9y^2\right)=$
$=-\left(\left(4x\right)^2-2\cdot4x\cdot3y+\left(3y\right)^2\right)=$
$=-\left(4x-3y\right)^2=-\left(4x-3y\right)\left(4x-3y\right).$

Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

$16 x^{2} + 24 x y + *$

Решение

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений. 

Роль $a^{2}$ будет выполнять $16 x^{2}$ (это квадрат одночлена $4 x$). Роль удвоенного произведения достанется одночлену $24 x y$. Первый множитель этого удвоенного произведения мы уже нашли — это $4 x$. Тогда удвоенное произведение можно представить в виде:

$24 x y = 2 \cdot 4 x \cdot 3 y$. 

Теперь очевидно, что роль переменной $b$ в формуле квадрата суммы выполняет $3 y$. На месте $*$ должен стоять $b^{2}$, значит $* = \left( 3 y \right)^{2} = 9 y^{2}$.

1. Представьте в виде квадрата двучлена:

а) $4 - 20 x + 25 x^{2}$

б) $81 x^{2} - 18 x y + y^{2}$

в) $x^{2} y^{2} - 2 x y + 1$

г) $x^{4} + 2 x^{2} y + y^{2}$

2. Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $* + 12 x + 36$

б) $49 - 56 x + *$

в) $25 x^{2} + * + 4 y^{2}$

г) $0,01 x^{2} - * + 100 y^{2}$