Конспект урока: Свойства диаметров и хорд окружности. Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная к окружности

Рис. 1. Внутренние и внешние точки относительно окружности

Напомним, что хордой называется отрезок, соединяющий две любые точки окружности, а диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 1 изображена окружность с центром в точке $O$. Она разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на две части –внутреннюю и внешнюю. Точки внутренней части называют внутренними относительно окружности, для них расстояние от центра окружности меньше радиуса. Точки внешней части называют внешними относительно окружности и для них расстояние от центра окружности больше радиуса.

На рисунке 1 внутренние точки относительно окружности – $C$, $B$; внешние точки – $A$, $D$, $E$. 

Рис. 2. К доказательству свойства 1

На рисунке 2 диаметр $AB$ окружности с центром в точке $O$ проходит через точку $K$, которая является серединой хорды $CD$. Докажем, что диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $CD$.

Рассмотрим треугольник $COD$. Он равнобедренный, т. к. $CO=OD$ как радиусы одной окружности. $OK$ – медиана равнобедренного треугольника $COD$. А в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой треугольника. Следовательно, $OK$ перпендикулярен $CD$, поэтому $AB$ перпендикулярен $CD$, что и требовалось доказать.

Рис. 3. К доказательству свойства 1

Докажем обратное утверждение. Пусть диаметр $AB$ окружности с центром в точке $O$ перпендикулярен хорде $CD$. Докажем, что диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам (рис. 3).

Проведём диаметр $EF$ через середину хорды $CD$ точку $K$. По ранее доказанному, т. к. диаметр проходит через середину хорды, то он перпендикулярен ей. То есть $EF$ перпендикулярен $CD$. Но тогда через центр окружности проходят две прямые $AB$ и $EF$, перпендикулярные отрезку $CD$, следовательно, они совпадают. Получили, что $EF$ и $AB$ – один и тот же диаметр. А значит диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам, что и требовалось доказать.

Если дан прямой угол $ABC$, то говорят, что отрезок $AC$ виден под прямым углом из точки $B$.

Рис. 4. К доказательству свойства 2

Пусть дана окружность с центром в точке $O$, 
$AB$ – её диаметр. Если для произвольной точки $C$ угол $ACB$ прямой, то в прямоугольном треугольнике $ACB$ $CO$ будет являться медианой (т. к. $AO=BO$ как радиусы окружности). Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно, $CO=AO=BO$, т. е. точка $C$ лежит на окружности с центром $O$ радиуса $OA$. 

Докажем обратное утверждение. Пусть $AB$ – диаметр окружности с центром в точке $O$, точка $C$ – лежит на окружности (рис. 4). Рассмотрим треугольник $ACB$. В нём медиана $CO$ равна половине стороны, к которой она проведена, следовательно угол $ACB$ прямой, что и требовалось доказать.

На основе доказанных свойств можно сделать следующий вывод.

Рис. 5. Прямая и окружность имеют две общие точки

Количество общих точек прямой и окружности определяет их взаимное расположение. Заметим, что прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек. Действительно, если предположить, что какая-то прямая пересекает окружность с центром в точке $O$ в трёх точках $A$, $B$ и $C$, то точка $O$ будет равноудалена от концов отрезков $AB$ и $BC$, и поэтому лежит на серединных перпендикулярах $m$ и $k$ этих отрезков. Но две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. 

Рис. 6. Прямая и окружность имеют одну общую точку

Таким образом, возможны три случая взаимного расположения окружности и прямой. 

• Прямая и окружность имеют две общие точки (рис. 5). В этом случае прямую называют секущей к окружности.
• Прямая и окружность имеют одну общую точку (рис. 6). В этом случае прямую называют касательной к окружности, а их общую точку – точкой касания.
• Прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 7).

Рис. 7. Прямая и окружность не имеют общих точек

Касательная к окружности

Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Рис. 8. Касательная к окружности

На рисунке 8 прямая $a$ является касательной к окружности с центром $O$. Иначе говоря, прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$.

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Рис. 9. К доказательству свойства касательной к окружности

Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 9). Докажем, что $OA\perp a$. Применим метод доказательства от противного.

Пусть отрезок $OA$ не является перпендикуляром к прямой $a$. Тогда по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой из точки $O$ можно провести перпендикуляр $OB$ к прямой $a$. 

На луче $AB$ от точки $B$ отложим отрезок $BC$, равный $AB$, и соединим точки $O$ и $C$. Поскольку по построению отрезок $OB$ — медиана и высота треугольника $AOC$, то этот треугольник равнобедренный с основанием $AC$, то есть $OA=OC$. Таким образом, расстояние между точками $O$ и $C$ равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка $C$ должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку $A$ — единственная общая точка окружности с прямой $a$. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть $OA\perp a$. 

Теорема доказана.

Пусть из точки $A$ к окружности проведены две касательные, $B$ и $C$ – точки касания. Отрезки $AB$ и $AC$ называются отрезками касательных, проведенными из точки $A$ (рис. 10). Они обладают следующим свойством.

Рис. 10. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точки A

Пусть $AB$ и $AC$ – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром $O$ из точки $A$ (рис. 10). Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOC$. По свойству касательной к окружности $OB\perp AB$, $OC\perp AC$, то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой $OA$ и равными катетами 
($OB=OC$ как радиусы окружности). Следовательно, $∆AOB=∆AOC$ по гипотенузе и катету, откуда $AB=AC$, $\angle OAB=\angle OAC$. 

Теорема доказана.

Докажем теорему, обратную теореме о свойстве касательной к окружности (признак касательной).

Рис. 11. К доказательству признака касательной

Пусть прямая $a$ проходит через точку $A$, лежащую на окружности с центром $O$, причем $OA\perp a$. Докажем, что, $a$ – касательная к окружности. Согласно определению касательной нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой $a$ единственную общую точку. Снова применим метод доказательства от противного.

Пусть прямая $a$ имеет с окружностью общую точку $B$, отличную от $A$ (рис. 11). Тогда из определения окружности $OA=OB$ как радиусы, то есть треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. По свойству углов равнобедренного треугольника $\angle OBA=\angle OAB=90°$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. 

Следовательно, точка $A$ – единственная общая точка окружности и прямой $a$, значит, прямая $a$ – касательная к окружности. 

Теорема доказана.

Рис. 12. Пример 1

Так как $AB$ и $AC$ отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, то $AB=AC=5$ см и $\angle BAO=\angle CAO=30°$ (рис. 12).

Рассмотрим равнобедренный треугольник $BAC$.

$\angle BAC=\angle BAO+\angle CAO=60°$.

Тогда 

$\angle ABC=\angle ACB=(180°-60°):2=60°$.

Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний. Значит, $BC=5$ см.

Ответ: $5$ см.