- Функция $y = \sqrt{x}$ и ее график
- Симметрия графиков функций $y = x^{2}$ (при $x \geq 0$) и $y = \sqrt{x}$
- Графическое решение уравнений вида $\sqrt{x} = k x + b$
- Уметь строить график функции $y = \sqrt{x}$
- Знать свойства функции $y = \sqrt{x}$
- Уметь сравнивать действительные числа с помощью свойств функции $y = \sqrt{x}$
- Знать свойство симметричности графиков функций $y = x^{2}$ (при $x \geq 0$) и $y = \sqrt{x}$
- Уметь решать уравнения вида $\sqrt{x} = k x + b$ графическим способом
- Решите уравнение:
а) $x^{2} = 169$; б) $x^{2} = 3$; в) $\sqrt{x} = 3$; г) $\sqrt{x} - 2 = 9$
Функция $y = \sqrt{x}$ и ее график
Пусть длина стороны квадрата равна $a$ см, а его площадь равна $S$ см2. Каждому значению длины $a$ стороны квадрата соответствует единственное значение его площади $S$. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой $S = a^{2}$, где $a \geq 0$.
Рис. 1. График функции
И, наоборот, каждому значению площади квадрата $S$ соответствует единственное значение длины стороны $a$. Зависимость длины стороны квадрата от площади выражается формулой $a = \sqrt{S}$.
Формулы $S = a^{2}$, где $a \geq 0$, и $a = \sqrt{S}$ выражают функциональные зависимости между переменными $a$ и $S$. Только в первом случае независимой переменной является длина a стороны квадрата, а во втором — площадь $S$.
Если независимую переменную обозначить буквой $x$, а зависимую переменную – $y$, то получим формулы
$y = x^{2}$, где $x \geq 0$, и $y = \sqrt{x}$.
Графиком функции $y = x^{2}$, где $x \geq 0$, является правая ветвь параболы (рис. 1). Построим далее график функции $y = \sqrt{x}$.
Т.к. выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл при неотрицательных значениях $x$, то областью определения функции служит множество неотрицательных чисел.
Составим таблицу значений функции $y = \sqrt{x}$ (для значений $x$, не являющихся квадратами целых чисел посчитаем приближенные значения $y$ с точностью до $0,1$):
|
$x$
|
0
|
0,5
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
$y$
|
0
|
0,7
|
1
|
1,4
|
1,7
|
2
|
2,2
|
2,4
|
2,6
|
2,8
|
3
|
Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведем от начала координат плавную линию и получим график функции $y = \sqrt{x}$.
$y = \sqrt{x}$" loading="lazy" />
Рис. 2. График функции $y = \sqrt{x}$
Перечислим некоторые свойства функции $y = \sqrt{x}$ (рис. 2).
1. Если $x = 0$, то $y = 0$, поэтому начало координат принадлежит графику функции.
2. Если $x > 0$, то $y > 0$, т.е. график расположен в первой координатной четверти.
3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции ($0 < x_{1} < x_{2}$, тогда $\sqrt{x_{1}} < \sqrt{x_{2}}$), поэтому график идёт вверх.
Упражнение 1
Используя график функции (рис. 2), определите:
1. Значение функции при $x = 2$; $3,5$; $5,2$; $8,5$;
2. Значение аргумента, которому соответствует значение функции 0,8; 1,6; 2,3; 2,9.
Пример 1
Сравните числа с помощью свойства функции:
а) $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{2,5}$; б) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{4,5}$.
Решение
а)$\sqrt{1,3 } < \sqrt{2,5}$, т.к. $1,3 < 2,5$;
б) $\sqrt{5} > \sqrt{4,5}$, т.к. $5 > 4,5$.
Ответ: а) $\sqrt{1,3 } < \sqrt{2,5}$; б) $\sqrt{5} > \sqrt{4,5}$.
Упражнение 2
Сравните числа с помощью свойств функции:
а) $\sqrt{43}$ и $\sqrt{45}$; б) $\sqrt{2,6}$ и $\sqrt{2,1}$; в) $\sqrt{\frac{1}{10}}$ и $\sqrt{\frac{1}{12}}$.
Симметрия графиков функций $y = x^{2}$ (при $x \geq 0$) и $y = \sqrt{x}$
График функции $y = \sqrt{x}$, как и график функции $y = x^{2}$, где $x \geq 0$, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой $y = x$ (рис. 3). Докажем этот факт.
Пусть точка $M ( a ; b )$ принадлежит графику функции $y = x^{2}$, где $x \geq 0$. Тогда верно равенство $a^{2} = b$. По условию $a$ — неотрицательное число поэтому $a = \sqrt{b}$. Значит при подстановке координат точки $N ( b ; a )$ в формулу $y = \sqrt{x}$ получается верное равенство, т.е. точка $N ( b ; a )$ принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$.
Рис. 3. Симметричность графиков функций
Верно и обратное: если точка $N ( b ; a )$ принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$, то $M ( a ; b )$ принадлежит графику функции $y = x^{2}$, где $x \geq 0$.
Таким образом, между точкой $M ( a ; b )$ графика функции $y = x^{2}$, где $x \geq 0$, и точкой $N ( b ; a )$ графика функции $y = \sqrt{x}$, существует взаимно однозначное соответствие. Т.к. точки $M ( a ; b )$ и $N ( b ; a )$ симметричны относительно прямой $y = x$, то и сами графики симметричны относительно этой прямой.
Графическое решение уравнений вида $\sqrt{\mathbf{\mathit{x}}} = \mathbf{\mathit{k}} \mathbf{\mathit{x}} + \mathbf{\mathit{b}}$
Рассмотрим пример решения уравнения вида $\sqrt{x} = k x + b$ графическим способом.
Пример 2
Решите уравнение $\sqrt{x} = 6 - x$ графическим способом.
Рис. 4. Графическое решение уравнения $\sqrt{x} = 6 – x$
Решение
Построим график функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = 6 - x$ — прямая, которую можно построить по двум точкам $( 0 ; 6 )$ и $( 6 ; 0 )$. Оба графика изобразим в одной координатной плоскости (рис. 4).
Графики этих функций пересекаются в точке $A ( 4 ; 2 )$. Если подставить в уравнение вместо $x$ абсциссу этой точки $4$, то получим верное равенство:
$\sqrt{4} = 6 - 4$.
Таким образом, решение уравнения $x = 4$.
Ответ: $4$.
Упражнение 3
Решите уравнение $\sqrt{x} = x - 2$ графическим способом.
Контрольные вопросы
1. Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?
2. Как расположен график функции $y = \sqrt{x}$ в координатной плоскости?
3. Пересекает ли прямая $y = a$, где $a$ — некоторое число, график функции $y = \sqrt{x} ?$
Упражнение 1
1. 1,4; 1,9; 2,3; 2,9;
2. 0,6; 2,6; 5,3; 8,4.
Упражнение 2
а) $\sqrt{43}$ < $\sqrt{45}$; б) $\sqrt{2,6}$ >$\sqrt{2,1}$ ; в) $\sqrt{\frac{1}{10}}$>$\sqrt{\frac{1}{12}}$ .
Упражнение 3
Рис. 5. Упражнение 3. Ответ
4
[/section]
