Конспект урока: Погрешность и точность приближения

Абсолютная погрешность приближенного значения

На практике в вычислениях используют, как правило, десятичные дроби с ограниченным числом десятичных знаков. Если дробь бесконечная или с большим количеством десятичных знаков, ее округляют. Так число π выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,1415926… В зависимости от задачи его округляют до десятых, сотых, тысячных и т.д. И тогда получают приближенные значения: 3,1; 3,14; 3,142 и т.д. 

По графику функции $y = x^{2}$ можно найти приближенные значения этой функции при $x = 1,6 \text{их} = 2,3$: $\text{еслих} = 1,6 , \text{то} y \approx 2,6 ; \\ \text{еслих} = 2,3 , \text{то} y \approx 5,3 .$

Точные значения квадратов чисел:

$\text{еслих} = 1,6 , \text{то} y = 1,6^{2} = 2,56 ; \\ \text{еслих} = 2,3 , \text{то} y = 2,3^{2} = 5,29 .$

В первом случае отличие приближенного значения от точного значения равно 0,04, во втором – 0,01:
 

$2,6 - 2,56 = 0,04 ; 5,3 - 5,29 = 0,01 .$

Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность определяется следующим образом:
 

$| 2,56 - 2,6 | = | - 0,04 | = 0,04 ; | 5,29 - 5,3 | = | - 0,01 | = 0,01 .$
 

Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Например, при измерении длины отрезка с помощью линейки мы можем сказать, что абсолютная погрешность не превосходит цены деления. Цена деления обычной линейки 0,1 см, поэтому абсолютная погрешность приближенного значения не больше 0,1.

Пишут: 

$x \approx a$ с точностью h.

Обычно используют другую запись:

$x = a \pm h$.

Эта запись означает, что 

$a - h \leq x \leq a + h$.

Например, если $x = 15 \pm 0,2$, то $14,8 \leq x \leq 15,2$.

Точность приближенного значения зависит от многих причин. На практике в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение, от его точности.

1. Округлите числа 1,526; 13,56; 5,753 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
 

2. Приближенное значение числа x равно a. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

а) $x = 3,76 ; a = 3,8$; б) $x = 9,653 ; a = 9,7$; в)  $x = 38,1 ; a = 38$; 
г) $x = 26,48 ; a = 26$.

3. Запишите в виде двойного неравенства:

а) $x = 7 \pm 1$; б) $x = 27 \pm 3$; в) $x = 23 \pm 0,1$; г) $x = 16,5 \pm 0,5$; 
д) $x = 5,82 \pm 0,01$; е) $x = 30,42 \pm 0,05$.

Относительная погрешность приближенного значения

Допустим, мы измерили толщину h монеты и ее диаметр d в сантиметрах:
 

$h = 0,2 \pm 0,1 ; \\ d = 2,5 \pm 0,1$
 

Тогда качество измерения можно оценить как отношение точности измерения к приближенному значению: для толщины $\frac{0,1}{0,2} = 0,5$, а для диаметра $\frac{0,1}{2,5} = 0,04$. Чем меньше отношение, тем точнее измерение. 

Относительную погрешность принято выражать в процентах:

$| \frac{x - a}{a} | \cdot 100 \%$.

Тогда $\frac{0,1}{0,2} \cdot 100 \% = 50 \% , \frac{0,1}{2,5} \cdot 100 \% = 4 \%$. Тогда говорят, что измерение толщины выполнено с относительной точностью до 50%, а измерение диаметра — с относительной точностью до 4%. Качество второго измерения значительно выше, чем первого.

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления (в процентах):

а) 2,1; б) 5,12; в) 9,736; г) 49,54.

1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения? Поясните смысл записи $x = a \pm h$.

2. Что называется относительной погрешностью приближенного значения?