Конспект урока: Present Simple. Настоящее простое

Функция y=k\x и ее график

План урока

Функция $y = \frac{k}{x}$ и ее график
Графический способ решения уравнений

Цели урока

Знать определение обратной пропорциональности
Знать свойства обратной пропорциональности
Уметь определять обратно пропорциональную зависимость между реальными величинами
Уметь строить график функции $y = \frac{k}{x}$
Уметь решать графически уравнения вида $\frac{k}{x} = a x + b$

Разминка

Как называются функции, задаваемые формулами:

$y = 2 x + 3 ; y = - \frac{1}{2} x + 4 ; y = - 3 x ; y = x^{2} ; y = - 2 x^{2}$?

Что представляют собой их графики? Как они расположены? Укажите область определения и область значений каждой из функций.

Функция $y = \frac{k}{x}$ и ее график

Пусть площадь прямоугольника, длина которого $x$ см, а ширина $y$ см, равна $S$ см². Тогда зависимость $y$ от $x$ выражается $y = \frac{S}{x}$.

Геометрические величины $x$ и $y$ в этой задаче могут принимать только положительные значения. Далее же мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида $y = \frac{k}{x}$, в которой переменные $x$ и $y$ могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причем $k \neq 0$.

Функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная и $k$ — не равное нулю число, называетсяобратной пропорциональностью.

Областью определения функции $y = \frac{k}{x}$ является множество всех чисел, отличных от нуля, т.к. выражение $\frac{k}{x}$ имеет смысл при всех $x \neq 0$.

Рассмотрим свойство обратной пропорциональности.

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — значения аргумента ($x_{1} \neq 0 , x_{2} \neq 0$), а $y_{1}$ и $y_{2}$ — соответствующие им значения функции. Так как $k \neq 0$, то $y_{1} \neq 0 , y_{2} \neq 0$. Из формулы следует, что $x_{1} y_{1} = k$ и $x_{2} y_{2} = k$. Приравняем левые части равенств $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$. Отсюда получаем пропорцию $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1}}$.

Свойство обратной пропорциональности: отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции.

С этим свойством связано и название функции — обратная пропорциональность.

В реальной жизни обратно пропорциональная зависимость между переменными величинами распространена.

Пример 1

На путь длиной $s$ км автомобиль, двигаясь со скоростью $v$ км/ч, тратит время $t$ ч. Выразите зависимость: а) $t$ от $v$; б) $v$ от $t$.

Решение

Путь выражается формулой $s = v t .$ Тогда получаем

а) $t = \frac{s}{v}$

б) $v = \frac{s}{t}$

Видим, что обе зависимости являются обратными пропорциональностями.

Ответ: а) $t = \frac{s}{v}$; б) $v = \frac{s}{t}$.

Пример 2

Бассейн объёма $V$ л заполняется через трубу за время $t$ мин. Выразите производительность трубы $p$ л/мин.

Решение

Производительность трубы — это скорость, с которой заполняется заданный объём: $p = \frac{V}{t}$.

Также получаем обратную пропорциональность.

Ответ: $p = \frac{V}{t}$.

Построим график функции $y = \frac{2}{x}$. Для этого найдем значения функции $y$, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям аргумента $x$, и оформим их в виде таблицы:

$Рис. 1. График функции $y = \frac{2}{x}$ (поточечный)$ Рис. 1. График функции $y = \frac{2}{x}$ (поточечный)

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице.
Прежде чем соединить точки проведем небольшое исследование функции $y = \frac{2}{x}$. Ее свойства связаны с дробным выражением $\frac{2}{x}$.

1) Т.к. аргумент $x$ не может быть равным нулю, то график не пересекает ось $y$.

2) Т.к. значение функции $y$ не может быть равным нулю, поскольку числитель дроби положительное число, то график не пересекает и ось $x$.

3) Положительным значениям $x$ соответствуют положительные значения $y$, а отрицательным значениям $x$ — отрицательные значения $y$: $y > 0$ при $x > 0$, $y < 0$ при $x < 0$.

Таким образом, график функции будет состоять из двух частей (!), которые называют ветви, и располагаться в I и III координатных четвертях, т.е. симметрично относительно начала координат.

4) Чем больше положительное значение $x$, тем меньше соответствующее значение $y$, — знаменатель возрастает, поэтому значение дроби убывает. Поэтому точки графика всё ближе к оси абсцисс. Математически это записывается следующим образом: $x \rightarrow + \infty$, тогда $y \rightarrow 0$ («x стремится к плюс бесконечности, тогда y стремится к нулю»). При значение $x \rightarrow - \infty$, $y \rightarrow 0$ («$x$ стремится к минус бесконечности, значение $y$ стремится к нулю»).

$Рис. 2. График функции $y = \frac{2}{x}$$ Рис. 2. График функции $y = \frac{2}{x}$

5) При приближении к нулю положительной абсциссы точки, ордината этой точки увеличивается: $x > 0 , x \rightarrow 0$, тогда $y \rightarrow + \infty$ («$x$ положительно, $x$ стремится к нулю, тогда $y$ стремится к плюс бесконечности»). Можно также показать, что $x < 0 , x \rightarrow 0$, тогда $y \rightarrow - \infty$ («$x$ отрицательно, $x$ стремится к нулю, тогда $y$ стремится к минус бесконечности»).

График функции $y = \frac{2}{x}$ показан на рисунке 2. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

$Рис. 3. График функции $y = - \frac{2}{x}$$ Рис. 3. График функции $y = - \frac{2}{x}$

График функции $y = - \frac{2}{x}$ выглядит аналогично, только расположен во II и IV координатных четвертях.

В общем случае, график функции $y = \frac{k}{x}$ при любых $k > 0$ будет иметь аналогичный вид, что и график функции $y = \frac{2}{x}$(рис. 4), а при любых $k < 0$ будет иметь аналогичный вид, что и $y = - \frac{2}{x}$(рис. 4).

$Рис. 4. График функции $y = \frac{k}{x}$$ Рис. 4. График функции $y = \frac{k}{x}$

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Упражнение 1

Функция задана формулой $y = \frac{k}{x}$. График данной функции проходит через точку с координатами (5; 1,2). Найдите значение $k$ и запишите формулу данной функции.

Заполните таблицу:

x		-4			-1		2	3		6
y	-1		-2	-3		6			1,5

Постройте график данной функции.

Упражнение 2

Постройте график функции $y = - \frac{4}{x}$.

Упражнение 3

Функции задана формулой $y = - \frac{5}{x}$. Используя соотношение $x y = k$, определите, принадлежат ли графику функции точки (-5; 1), (2; 2,5), (4; –1,25), ( –1; -5), (10; -2),

(-4; 0,8), (-1; 5).

Графический способ решения уравнений

Пример 3

Решить уравнение $\frac{4}{x} = 5 - x$ графическим способом.

Решение

$Рис. 5. Графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$$ Рис. 5. Графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$

1) Рассмотрим две функции: $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$.

2) Построим график функции $y = \frac{4}{x}$ — гиперболу (рис. 5).

3) Построим график линейной функции $y = 5 - x$. Это прямая. Ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 5).

4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках $A ( 1 ; 4 )$ и $B ( 4 ; 1 )$. Проверка показывает, что это на самом деле так. Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек $A$ и $B$.

Ответ: 1; 4.

Упражнение 4

Решите уравнение $- \frac{2}{x} = 1 - x$ графическим способом.