Конспект урока: Решение задач. Смешанное соединение проводников. Электрические цепи. Измерение токов и напряжений в цепи

Если в электрической цепи одновременно присутствуют и последовательное, и параллельное соединения проводников, такое соединение называют смешанным.

Пример 1

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

Найти общее сопротивление участка цепи, представленного на рисунке 3, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 2 Ом.

Решение

Рис. 4. Эквивалентные схемы сложной цепи

Пронумеруем резисторы (рис. 4, а). Проводники 1 и 2 соединены параллельно, найдём их общее сопротивление R₁₂:
 

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$;

 

$R_{12} = 1 O\text{м}$.
 

Проводники 3 и 4 соединены последовательно, найдём их общее сопротивление R₃₄:
 

$R_{34} = R_{3} + R_{4} = 2 + 2 = 4 O\text{м}$.
 

Проводники 1 и 2 можно заменить на один проводник сопротивлением R₁₂, проводники 3 и 4 — на проводник R₃₄. В результате получаем упрощённую эквивалентную схему, представленную на рисунке 4, б.

Из рисунка 4, б видно, что проводники 12 и 5 соединены последовательно, найдём их общее сопротивление R₁₂₅:
 

$R_{125} = R_{12} + R_{5} = 1 + 2 = 3 O\text{м}$.
 

Заменяем два проводника 12 и 5 на один проводник сопротивлением R₁₂₅, получаем эквивалентную схему, состоящую из трёх резисторов 
(рис. 4, в). Находим общее сопротивление проводников 125 и 34:

$\frac{1}{R_{12345}} = \frac{1}{R_{125}} + \frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$;

$R_{12345} = \frac{12}{7} \approx 1,7 O\text{м}$.

В результате преобразований получаем схему, состоящую из двух последовательно соединённых проводников с сопротивлениями R₁₂₃₄₅ и R₆ (рис. 4, г).

$R_{123456} = R_{12345} + R_{6} = 1,7 + 2 = 3,7 O\text{м}$.

Ответ: $R_{123456} = 3,7 O\text{м}$.

Пример 2

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 2

 

Рассчитайте электрическую цепь, изображённую на рисунке 5. Амперметр показывает силу тока 2 А. Сопротивления первого, второго и третьего резисторов равны 4, 6 и 0,6 Ом соответственно.

Решение

Прежде всего, рассчитаем общее сопротивление цепи. Резисторы 1 и 2 соединены параллельно, найдём их общее сопротивление:
 

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{10}{24}$;

$R_{12} = \frac{24}{10} = 2,4 O\text{м}$.
 

Исходной схеме эквивалента схема из двух проводников сопротивлениями R₁₂ и R₃, соединённых последовательно. Тогда общее сопротивление данной цепи равно:
 

$R = R_{12} + R_{3} = 2,4 + 0,6 = 3 O\text{м}$.
 

Амперметр находится в неразветвлённой части цепи, следовательно, он показывает общую силу тока в цепи, одинаковую на проводниках, соединённых последовательно:
 

$I = I_{12} = I_{3} = 2 A$.

Найдём общее напряжение, а также напряжение на проводниках 12 и 3, используя закон Ома:
 

$U = I \cdot R = 2 \cdot 3 = 6 B$;

$U_{12} = I_{12} \cdot R_{12} = 2 \cdot 2,4 = 4,8 B$;
$U_{3} = I_{3} \cdot R_{3} = 2 \cdot 0,6 = 1,2 B$.

Осталось найти распределение сил токов и напряжений на проводниках 1 и 2. Данные резисторы соединены параллельно, следовательно, напряжения на данных резисторах одинаковы и равны общему напряжению на данном участке цепи:
 

$U_{1} = U_{2} = U_{12} = 4,8 B$.
 

Сопротивления резисторов 1 и 2 известны, находим силы токов на данных проводниках по закону Ома:
 

$I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{4,8}{4} = 1,2 A$;

$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{4,8}{6} = 0,8 A$.

Ответ: $I = 2 A$; $I_{1} = 1,2 A$; $I_{2} = 0,8 A$; $U = 6 B$; $U_{1} = 4,8 B$; $U_{2} = 4,8 B$; $U_{3} = 1,2 B$.

Пример 3

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 3

 

Найти общую силу тока в электрической цепи, изображённой на рисунке 6. Вольтметр показывает напряжение 21 В. Сопротивления первого, второго и третьего резисторов равны 3, 2 и 5 Ом соответственно.

Решение

Из условия задачи известны сопротивление и напряжение на первом резисторе, найдём силу тока на данном проводнике:
 

$I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{21}{3} = 7 A$.
 

Так как проводники 1 и 2 соединены последовательно, сила тока на них одинакова:

$I_{12} = I_{1} = I_{2} = 7 A$.
 

Используя закон Ома, найдём напряжение на втором резисторе:
 

$U_{2} = I_{2} \cdot R_{2} = 7 \cdot 2 = 14 B$.

Так как проводники 1 и 2 соединены последовательно, общее напряжение на данном участке равно сумме напряжений на данных резисторах:

$U_{12} = U_{1} + U_{2} = 21 + 14 = 35 B$.
 

Участок цепи, изображённый на рисунке 6, можно представить в виде упрощённой схемы, состоящей из двух параллельно соединённых проводников с сопротивлениями R₁₂ и R₃. Тогда напряжение на данных резисторах одинаково и равно общему напряжению на данном участке:
 

$U_{12} = U_{3} = U = 35 B$.
 

Найдём силу тока на третьем резисторе:
 

$I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{35}{5} = 7 A$.
 

Общая сила тока равна сумме сил тока на проводниках 12 и 3:
 

$I = I_{12} + I_{3} = 7 + 7 = 14 A$.

Ответ: $I = 14 A$.

Упражнение 1

Рис. 7

 

1. Рассчитайте общее сопротивление участка цепи, представленного на рисунке 7, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 2 Ом.

Рис. 8

2. Рассчитайте электрическую цепь, представленную на рисунке 8, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны 4 Ом. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна 50 А.

Рис. 9

3. Сопротивления резисторов 1, 2, 3 и 4 равны 2, 3, 7 и 3 Ом соответственно 

(рис. 9). Известно, что напряжение на резисторе 1 составляет 20 В. Найти распределение сил токов и напряжений на данном участке цепи.

Упражнение 1

1. R = 3,3 Ом
 

2. I₁ = I₂ = I₃ = I₄ = 25 А; U = 200 В; U₁ = U₂ = U₃ = U₄ = 100 В
 

3. I = 16,7 А; I₁ = 10 А; I₂ = 6,7 А; I₃ = 5 А; I₄ = 11,7 А; U = 55,07 В; 
    U₂ = 20 В; U₃ = U₄ = 35,07 В