- Определение параллелограмма
- Свойства параллелограмма
- Признаки параллелограмма
- Знать определение параллелограмма, свойства параллелограмма и признаки параллелограмма
- Уметь применять свойства параллелограмма для решения задач, доказывать, что четырехугольник является параллелограммом, применяя признаки параллелограмма
- Какие треугольники называют равными?
- Как доказать равенство треугольников?
- Какие прямые называются параллельными?
- Как доказать параллельность прямых?
- Какими свойствами обладают параллельные прямые?
Рис. 1. Параллелограмм
Определение параллелограмма
Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые $f$ и $i$, пересеченные двумя другими параллельными прямыми $g$ и $h$ (Рис. 1). В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.
Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
Рис. 2. Параллелограмм
На рис. 2 изображен параллелограмм $A B C D$, в котором $A B \parallel C D$, $A D \parallel B C$.
Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
Свойство 1
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Доказательство
Рис. 3. Доказательство свойства 1
Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ (Рис. 3). Диагональ $B D$ разделяет его на 2 треугольника: $\Delta A B D$ и $\Delta B C D$. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: $B D$ — общая сторона, $\angle A B D = \angle C D B$, $\angle A D B = \angle C B D$ как накрест лежащие углы при пересечении секущей $B D$ параллельных прямых $A B$ и $C D ,$ $A D$ и $B C$. В равных треугольниках равны соответствующие элементы, поэтому $A B = C D$, $A D = B C$, $\angle A = \angle C$. Пользуясь равенствами $\angle A B D = \angle C D B$, $\angle A D B = \angle C B D$, можем сделать вывод $\angle B = \angle D$.
Свойство 2
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство
Рис. 4. Доказательство свойства 2
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$и $B D$ параллелограмма $A B C D$ (Рис. 4). Треугольники $A O B$ и $C O D$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $A B = C D$ как противоположные стороны параллелограмма, $\angle B A O = \angle D C O$, $\angle A B O = \angle C D O$ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $A B$ и $C D$ секущими $A C$ и $B D$ соответственно. Поэтому $A O = O C$, $B O = O D$,
что и требовалось доказать.
Пример 1
Сумма двух углов параллелограмма равна $200^{\circ}$. Найдите углы параллелограмма.
Решение
Пусть дан параллелограмм $A B C D$ (Рис. 2). Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых, то данные углы могут быть только противоположными. Пусть $\angle B + \angle D = 200^{\circ}$. Тогда по свойству углов параллелограмма $\angle B = \angle D = 200^{\circ} : 2 = 100^{\circ}$. Значит, $\angle A = \angle C = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
Ответ: $80^{\circ}$ и $100^{\circ}$.
Пример 2
В параллелограмме $A B C D$ биссектриса угла $A$ делит сторону $B C$ пополам. Найдите периметр параллелограмма, если $A B = 6 \text{см}$.
Решение
Рис. 5. Пример 2
Пусть в параллелограмме $A B C D$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $E$, $B E = E C$ (Рис. 5).
Заметим, что $\angle B A E = \angle D A E$, поскольку $A E$ — биссектриса $\angle B A D$, а $\angle B E A = \angle D A E$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A D$ и $B C$ и секущей $A E$. Отсюда $\angle B A E = \angle B E A$, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $\Delta A B E$ — равнобедренный с основанием $A E$, значит, $B E = A B = 6 \text{см}$. По условию $B E = E C \Rightarrow B C = 12 \text{см}$.
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то
$P_{A B C D} = 2 \cdot ( 6 + 12 ) = 36 ( \text{см} )$.
Ответ: $36 \text{см}$.
Признаки параллелограмма
Рассмотрим 3 признака параллелограмма
Признак 1
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
ABCD" loading="lazy" />
Рис. 6. Параллелограмм ABCD
Рассмотрим четырехугольник $A B C D$.
$A B \parallel C D$, $A B = C D$ (Рис. 6). Проведем диагональ $A C$, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: $A B C$ и $C D A$. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ($A C$ — общая сторона, $A B = C D$, $\angle B A C = \angle D C A$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $A B$ и $C D$ секущей $A C$), поэтому $\angle B C A = \angle D A C$, а они накрест лежащие при пересечении прямых $A D$ и $B C$ секущей $A C$, следовательно $A D \parallel B C$.
Таким образом, в четырехугольнике $A B C D$ противоположные стороны попарно параллельны, а значит четырехугольник $A B C D$ — параллелограмм по определению.
Признак 2
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник $A B C D$ $A B = C D$, $B C = A D$ (Рис. 6). Проведем диагональ $A C$, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: $A B C$и $C D A$. Эти треугольники равны по трем сторонам ($A C$ — общая сторона, $A B = C D$, $B C = A D$), поэтому $\angle B C A = \angle D A C$, а они накрест лежащие при пересечении прямых $A D$ и $B C$ секущей $A C$, следовательно $A D \parallel B C$.
Таким образом $B C = A D$, $B C \parallel A D$, следовательно четырехугольник $A B C D$ — параллелограмм по первому признаку.
Признак 3
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
Рис. 7. Доказательство третьего признака
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$и $B D$ четырехугольника $A B C D$ $A O = O C$,$B O = O D$ (Рис. 7). Треугольники $A O B$ и $C O D$равны по двум сторонам и углу между ними
($A O = O C$, $B O = O D$, $\angle A O B = \angle C O D$ как вертикальные углы), поэтому $A B = C D$, $\angle B A O = \angle D C O$. Из равенства $\angle B A O$ и $\angle D C O$ следует, что $A B \parallel C D$.
Таким образом, $A B = C D$, $A B \parallel C D$, следовательно четырехугольник $A B C D$ — параллелограмм по первому признаку.
Признак 1, признак 2, признак 3 не являются общепризнанными названиями приведенных признаков параллелограмма, поэтому при решении задач (доказательстве) не нужно ссылаться на конкретный признак, достаточно лишь указать, что четырехугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма.
Пример 3
В параллелограмме $A B C D$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $C D$соответственно (Рис. 8). Докажите, что четырехугольник $M B N D$ — параллелограмм.
Решение
Рис. 8. Пример 3
Рассмотрим четырехугольник $M B N D$. Стороны $M B$ и $N D$ параллельны, т. к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма $A B C D$. Кроме того, $M B = N D$ как половины равных сторон $A B$ и $C D$ параллелограмма $A B C D$. Таким образом, в четырехугольнике $M B N D$ две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $M B N D$ — параллелограмм.
Упражнения
1. Найдите углы параллелограмма, если:
а) один из них равен $110^{\circ}$;
б) один из них на $70^{\circ}$ меньше другого;
в) сумма двух его углов равна $90^{\circ}$;
г) диагональ образует с его сторонами углы $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$.
2. Периметр параллелограмма $A B C D$ равен $14 \text{дм}$, а периметр треугольника $A B C$ — $10 \text{дм}$. Найдите длину диагонали $A C$.
3. В четырехугольнике $A B C D$ стороны $A B$ и $C D$ параллельны. Найдите периметр четырехугольника, если $A B = C D = 9 \text{см}$, $A D = 4 \text{см}$.
4. В четырехугольнике $A B C D$ $A B = C D$, $A D = B C$. Найдите углы четырехугольника, если угол $A$ втрое больше угла $B$.
5. Диагонали четырехугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$. Является ли данный четырехугольник параллелограммом, если $A O = 4 \text{см}$, $O C = 40 \text{мм}$, $B D = 1,2 \text{дм}$, $O D = 6 \text{см}$? Ответ обоснуйте.
Контрольные вопросы
1. Четырехугольник $A B C D$ — параллелограмм. Назовите:
а) сторону, параллельную стороне $B C$;
б) сторону, равную стороне $C B$;
в) угол, равный углу $A$.
2. Верно ли, что любой параллелограмм имеет:
а) два угла, сумма которых равна $180^{\circ}$;
б) два острых и два тупых угла?
3. В параллелограмме $A B C D$ $\angle B < \angle C$. Сравните углы $A$ и $D$.
4. В параллелограмме $A B C D$ $A B + C D > A D + B C$. Сравните стороны $B C$ и $C D$.
5. Диагонали параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $O$ (Рис. 4). Назовите:
а) отрезок, который является медианой треугольника $A C D$;
б) треугольник, медианой которого является отрезок $A O$.
6. Диагонали четырехугольника $D E F K$ пересекаются в точке $O$, причем $D O = O F$, $E O = O K$. Назовите параллельные стороны четырехугольника и объясните, почему они параллельны.
7. В четырехугольнике $K L M N$ $K L \parallel M N$ и $K L = M N$. Назовите равные углы четырехугольника и объясните, почему они равны.
8. В четырехугольнике $P R S Q$ $P R = S Q$, $P Q = R S$. Найдите сумму углов $R$ и $S$.
9. В четырехугольнике $A B C D$ $A B \parallel C D$. Какое соотношение между сторонами четырехугольника необходимо добавить к условию задачи, чтобы доказать, что $A B C D$ — параллелограмм? Приведите все возможные варианты ответа.
1. а) $110^{\circ} , 70^{\circ} , 110^{\circ} , 70^{\circ}$;
б) $55^{\circ} , 125^{\circ} , 55^{\circ} , 125^{\circ}$;
в) $135^{\circ} , 45^{\circ} , 135^{\circ} , 45^{\circ}$;
г) $105^{\circ} , 75^{\circ} , 105^{\circ} , 75^{\circ}$.
2. $3 \text{дм}$.
3. Четырехугольник $A B C D$ является параллелограммом по 1 признаку. Периметр равен $26 \text{см}$.
4. Четырехугольник $A B C D$ является параллелограммом по 2 признаку, углы равны $135^{\circ} , 45^{\circ} , 135^{\circ} , 45^{\circ}$
5. Четырехугольник $A B C D$ является параллелограммом по 3 признаку.
