- Отношение отрезков
- Пропорциональные отрезки
- Знать определение отношения отрезков, пропорциональных отрезков
- Уметь вычислять отношение отрезков, находить пропорциональные отрезки
- Что называют пропорцией?
- Основное свойство пропорции
Отношение отрезков
Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.
Определение
Отношением отрезков $A B$ и $C D$ называется отношение их длин, т. е. число $\frac{A B}{C D}$.
Иначе говоря, отношение $\frac{A B}{C D}$ показывает, сколько раз отрезок $C D$ и его части укладываются в отрезке $A B$. Действительно, если отрезок $C D$ принять за единицу измерения, то данное отношение будет равно длине отрезка $A B$.
Пропорциональные отрезки
Определение
Отрезки $A B$ и $C D$ пропорциональны отрезкам $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$, если
$\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{C D}{C_{1} D_{1}}$.
Пример 1
Доказать пропорциональность отрезков длиной 8 см и 12 см отрезкам длиной 10 см и 15 см.
Решение
Поскольку
$\frac{8 \text{см}}{10 \text{см}} = \frac{12 \text{см}}{15 \text{см}} = 0,8$
то отрезки пропорциональны по определению, что и требовалось доказать.
Понятие пропорциональности вводится для большего числа отрезков. Так, например, отрезки $A B$, $C D$ и $E F$ пропорциональны соответственно трем отрезкам $M N$, $P Q$и $K L$, если справедливо равенство
$\frac{A B}{M N} = \frac{C D}{P Q} = \frac{E F}{K L}$.
Пример 2
Среди отрезков $A B , C D , E F , M K , P S$ выберите четыре отрезка так, чтобы два из них были пропорциональны двум другим отрезкам, если $A B = 3 \text{см} , C D = 16 \text{см} , E F = 18 \text{см} , M K = 36 \text{см} , P S = 6 \text{см}$.
Решение
Среди представленных длин отрезков 16 делится только на 2, остальные числа кратны трем, или трем и двум. Таким образом,
$\frac{3 \text{см}}{6 \text{см}} = \frac{18 \text{см}}{36 \text{см}}$,
значит
$\frac{A B}{P S} = \frac{E F}{M K}$.
Ответ: Отрезки $A B$ и $E F$ пропорциональны отрезкам $P S$ и $M K$.
Упражнение 1
Определите, являются ли отрезки $A B$ и $C D$ пропорциональными отрезкам $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$, если:
а) $A B = 8 \text{см}$, $C D = 24 \text{см}$, $A_{1} B_{1} = 4 \text{см}$, $C_{1} D_{1} = 12 \text{см}$;
б) $A B = 9 \text{см}$, $C D = 14 \text{см}$, $A_{1} B_{1} = 7 \text{см}$, $C_{1} D_{1} = 18 \text{см}$.
Контрольный вопрос
Какие отрезки называются пропорциональными?
Упражнение 1
а) являются; б) не являются.
