- Среднее пропорциональное двух чисел;
- Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
- Применение метрических соотношений прямоугольного треугольника.
- Знать определение среднего пропорционального двух отрезков, метрические соотношения прямоугольных треугольников;
- Уметь применять метрические соотношения прямоугольных треугольников.
- Какие треугольники называются подобными?
- Какими свойствами обладают подобные треугольники?
- Как доказать подобие треугольников?
- Сформулируйте теорему Пифагора.
Определение среднего пропорционального двух чисел
Пример 1
Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Решение
Рис. 1. К решению примера 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $B$, $B D$ – высота (рис. 1). Докажем подобие треугольников $A B D$ и $B C D$; $A B C$ и $A D B$; $A B C$ и $B D C$.
В прямоугольном треугольнике $A B D$ $\angle A B D = 90^{\circ} - \angle A$, но $\angle C = 90^{\circ} - \angle A$ (из треугольника $A B C$), значит, $\angle A B D = \angle C$, $\angle A$ — общий. Таким образом, $\Delta A B C \sim \Delta A D B$ по двум углам. Аналогично доказывается подобие треугольников$A B C$ и $B D C$ по двум углам, треугольников $A B D$ и $B C D$ по двум углам, что и требовалось доказать.
Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими).
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Отрезок $X Y$ называется средним пропорциональным
(средним геометрическим) между отрезками $A B$ и $C D$, если
$\frac{A B}{X Y} = \frac{X Y}{C D}$ или $X Y = \sqrt{A B \cdot C D}$.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
Действительно, если вернуться к выводам, полученным в решении примера 1, из подобия треугольников $A B D$ и $B C D$ следует, что $\frac{A D}{B D} = \frac{B D}{C D}$, или $B D = \sqrt{A D \cdot C D}$.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Из того, что $\Delta A B C$ ~ $\Delta A D B$ (пример 1), следует $\frac{A C}{A B} = \frac{A B}{A D}$ или $A B = \sqrt{A C \cdot A D}$.
Из того, что $\Delta A B C$ ~ $\Delta B D C$ (пример 1), следует $\frac{A C}{B C} = \frac{B C}{D C}$ или $B C = \sqrt{A C \cdot D C}$.
Пример 2
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины отрезков, на которые ее делит высота треугольника.
Решение
Рис. 2. К решению примера 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $B$, $B D$ – биссектриса, $B E$ – высота, $A D = 20 \text{см}$, $C D = 15 \text{см}$(рис. 2). Найдем длины отрезков $A E$ и $C E$.
По свойству биссектрисы треугольника $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$. По теореме Пифагора $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$. Введем обозначения: $A B = 4 x$, $B C = 3 x$. Составим и решим уравнение:
$( 4 x )^{2} + ( 3 x )^{2} = ( 20 + 15 )^{2}$
$25 x^{2} = 1225$
$x^{2} = 49$
$x = \pm 7$.
Длины катетов равны $A B = 4 \cdot 7 = 28 \text{см}$, $B C = 3 \cdot 7 = 21 \text{см}$.
Вычислим длины отрезков $A E$ и $C E$, используя метрические соотношения для катетов прямоугольного треугольника:
$A B = \sqrt{A C \cdot A E}$, $A B^{2} = A C \cdot A E$, $A E = \frac{A B^{2}}{A C}$, $A E = \frac{28^{2}}{35} = 22,4 \text{см}$.
Тогда $C E = 35 - 22,4 = 12,6 \text{см}$.
Ответ: 22,4 см и 12,6 см
Пример 3
Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а отрезок гипотенузы, заключенный между этим катетом и основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен 9 см.
Решение
Рис. 3. К решению примера 3
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$, $\angle C = 90^{\circ}$, $C D$ – высота, $A C = 15 \text{см}$, $A D = 9 \text{см}$ (рис. 3).
Используя метрическое соотношение прямоугольного треугольника для катета, найдем длину гипотенузы данного треугольника: $A C = \sqrt{A B \cdot A D}$, $A C^{2} = A B \cdot A D$,
$A B = \frac{A C^{2}}{A D}$, $A B = \frac{15^{2}}{9} = 25 ( \text{см} )$.
По теореме Пифагора $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$, $B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}}$, $B C = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = \sqrt{400} = 20 ( \text{см} )$.
Периметр треугольника $A B C$ равен:
$P_{A B C} = 25 + 15 + 20 = 60 ( \text{см} )$.
Ответ: 60 см.
Упражнения
1. В прямоугольном треугольнике $A B C$ ($\angle C = 90^{\circ}$) проведена высота $C D$ (рис. 3). Найдите:
а) $C D$, если $A D = 4 \text{см}$, $B D = 25 \text{см}$;
б) $A C$ и $B C$, если $A B = 50 \text{см}$, $A D = 18 \text{см}$.
2. Высота прямоугольного треугольника равна 24 см и делит гипотенузу в отношении 9:16. Найдите катеты треугольника.
3. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 2,25 см и 4 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.
Контрольные вопросы
1. Может ли высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, быть меньше каждого из отрезков гипотенузы; быть равной отрезку гипотенузы?
2. Отрезки $a_{c}$ и $b_{c}$ — отрезки гипотенузы, заключенные между катетами $a$ и $b$ и высотой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Сравните:
а) $a$ и $b$, если $a_{c} < b_{c}$;
б)$a_{c}$ и $b_{c}$, если $a > b$.
3. Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой; с общим катетом?
4. Для построения четвертого пропорционального отрезка $x = \frac{a b}{c}$ ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ и провести в нем высоту из вершины прямого угла, равную $x$. Другой ученик утверждает, что этот способ ошибочный. Кто из учеников прав?
1. а) 10 см; б) 30 см и 40 см.
2. 30 см и 40 см.
3. 6 см.
