Конспект урока: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Как известно, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обуславливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ (рис. 1).

Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α

Синусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается 
$\sin \alpha$) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$.

 

Косинусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $\cos \alpha$) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.

Тангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $\operatorname{tg} \alpha$) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}$.

 

Котангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $\operatorname{ctg} \alpha$) называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}$.

Поскольку $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ и $\cos \alpha = \frac{b}{c}$,  тогда $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b} = \frac{a}{b} = \operatorname{tg} \alpha$. 

Таким образом, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$, т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. 

Также $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \operatorname{ctg} \alpha$, т.е. котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла. 

При этом $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$, т.е. тангенс и котангенс одного угла - взаимно обратные отношения.

Синус – латинский перевод арабского слова «джайб» - пазуха, вырез платья. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах.

Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.

Тангенс - в переводе с латинского «касательный».

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Рис. 2. К доказательству

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.

 

Пусть прямоугольные треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ имеют равные острые углы $A$ и $A_{1}$ (рис. 2). Эти треугольники подобны, откуда $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}$, или, по основному свойству пропорции, $\frac{B C}{A B} = \frac{B_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1}}$. Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов $A$ и $A_{1}$ соответственно. Имеем: 

 

$\sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{B_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1}} = \sin A_{1}$

 

т. е. синус угла $A$ не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций угла. Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

 

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов $A$ и $A_{1}$ равны, то $\angle A = \angle A_{1}$. Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Решение

Рис. 3. Египетский треугольник

Пусть в треугольнике $A B C$ $\angle C = 90^{\circ}$, $A B = 5 ,$ $B C = 3$ и $A C = 4$ (рис. 3). Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против меньшей стороны, то угол А - наименьший угол треугольника $A B C$. По определению 

 

$\sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{5} = 0,6$;

$\cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{5} = 0,8$;

$\operatorname{tg} A = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{4} = 0,75$;

$\operatorname{ctg} A = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$.

 

Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; $1 \frac{1}{3}$.

Решение

Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$, $\angle B = 90^{\circ}$, $A C = 34 \text{см}$, $\cos \alpha = \frac{8}{17}$ (рис. 4).

 

По определению косинуса $\cos \alpha = \frac{A B}{A C}$, $\frac{A B}{34} = \frac{8}{17}$, $A B = \frac{8 \cdot 34}{17} = 16 ( \text{см} )$. 

 

По теореме Пифагора $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$, тогда $B C = \sqrt{34^{2} - 16^{2}} = \sqrt{1156 - 256} = 30 ( \text{см} )$.

 

Ответ: 16 см и 30 см.

Основное тригонометрическое тождество

Выведем соотношение (тождество), которое выражает зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Доказательство

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^{2} + \left(\frac{b}{c}\right)^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$.

По теореме Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, тогда $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$.

Теорема доказана.

Решение

Пусть $\sin \alpha = 0,8$. Найдем $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$, $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1 - 0,8^{2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$. Тангенс и котангенс взаимно обратные отношения, следовательно $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4} = 0,75$.

Ответ: $0,6$; $1 \frac{1}{3}$; $0,75$.

Контрольные вопросы

Рис. 5. К вопросу 1

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла  выражается дробью: 

а) $\frac{K N}{K M}$; б) $\frac{M N}{K N}$; в) $\frac{M N}{K M}$.

2. В прямоугольном треугольнике $K M N$ 
(рис. 5) $K N > M N$. Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс?

3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным $0,99$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{5} - 2$?

4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?

5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным $\sqrt{2}$; $0,01$; $100$?