- Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°.
- Знать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°;
- Уметь применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60° при решении задач.
- Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- Основное тригонометрическое тождество;
- Теорема Пифагора.
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°
Рис. 1. К вычислению тригонометрических функций угла 30°
Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30° и 60°. Для этого в равностороннем треугольнике $A B C$ со стороной $a$ проведем высоту $B D$, которая является также биссектрисой и медианой (рис. 1). В треугольнике $A B D$,
$\angle D = 90^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $A B = a$, $A D = \frac{a}{2}$,
и по теореме Пифагора $B D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$. Имеем:
$\sin 30^{\circ} = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$; $\cos 30^{\circ} = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$; $\operatorname{ctg} 30^{\circ} = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$.
$\sin 60^{\circ} = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 60^{\circ} = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$;
$\operatorname{tg} 60^{\circ} = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$; $\operatorname{ctg} 60^{\circ} = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Рис. 2. К вычислению тригонометрических функций угла 45°
Для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла 45° рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $A C = B C = a$
(рис. 2). По теореме Пифагора $A B = a \sqrt{2}$. Имеем:
$\sin 45^{\circ} = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\cos 45^{\circ} = \frac{A C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{a} = 1$; $\operatorname{ctg} 45^{\circ} = \frac{A C}{B C} = \frac{a}{a} = 1$.
Представим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30°, 45°, 60° в виде таблицы
|
$\alpha$
|
30°
|
45°
|
60°
|
|
$\sin \alpha$
|
$\frac{1}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
|
$\cos \alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
|
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
|
$\frac{1}{2}$
|
|
$\operatorname{tg} \alpha$
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
$1$
|
$\sqrt{3}$
|
|
$\operatorname{ctg} \alpha$
|
$\sqrt{3}$
|
$1$
|
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
Пример 1
Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18 см, а угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°.
Решение
Рис. 3. К решению примера 2
Рассмотрим равнобедренный треугольник $A B C$, $A C = 18 \text{см}$, $\angle A B C = 120^{\circ}$ (рис. 3). Проведем высоту $B D$.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому $A D = D C = 9 \text{см}$, $\angle A B D = \angle C B D = 60^{\circ}$.
В прямоугольном треугольнике $A B D$ по определению $\sin A B D = \frac{A D}{A B}$, $A B = \frac{A D}{\sin A B D} = \frac{A D}{\sin 60^{\circ}} = 9 : \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \left(\text{см}\right)$.
Ответ: $6 \sqrt{3}$ см.
Упражнение
Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен $\frac{8}{17}$, а высота, проведенная к основанию — 16 см. Найдите основание треугольника.
Контрольные вопросы
1. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с гипотенузой $A B$ $\sin B = a$. Чему равен косинус угла $A$?
2. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника быть равными? В каком случае?
Рис. 4. К вопросам 5 и 6
3. Углы $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta$.
4. В прямоугольном треугольнике $K M N$(рис. 4) известны катет $M N$ и угол $K$. Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника.
5. Пользуясь рис. 4, определите, какие из данных утверждений верны:
а) $K N = \frac{M N }{\sin \alpha}$;
б) $M K = K N \cdot \sin \alpha$;
в) $K N = M N \cdot \operatorname{tg} \alpha$;
г) $M N = \frac{K M}{\operatorname{ctg} \alpha}$.
60 см
