- Система счисления
- Непозиционная система счисления
- Позиционная система счисления
- Десятичная система счисления
- Представление числа в позиционной системе счисления с основанием q
- знать определения: система счисления, позиционная и непозиционная системы счисления, развёрнутая форма записи
- знать виды систем счисления
- знать суть десятичной системы счисления
- уметь представлять любое число в позиционной системе счисления с основанием q
- уметь записывать число в развёрнутой и свернутой форме
- Для чего используются знаки и знаковые системы?
- Что такое число?
- Что такое цифра?
- Что такое алфавит?
Система счисления
Система счисления — это способ записи чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Знаки, с помощью которых записывают числа, называются цифрами, а множество таких знаков называют алфавитом системы счисления.
Примерами систем счисления могут служить римская система записи чисел (римские цифры), славянские цифры, использующиеся на Руси вплоть до XVIII века, цифры племени майя и т. д. (рис. 1).
Рис.1. Цифры майя
Все существовавшие и существующие системы счисления можно разделить три вида:
- унарная система;
- непозиционные системы;
- позиционные системы.
Унарная система счисления — древнейшая система счисления, где для записи чисел использовались палочка, узелок, зарубка или камушек.
Унарная система лежит в основе арифметики. Более того, при изучении счёта в настоящее время дети начинают именно с унарной системы, например, используют счётный материал — палочки.
Непозиционная система счисления
Непозиционной называется система счисления, в которой от положения (позиции) знака в записи числа не зависит количественное значение, которое оно обозначает.
Рис. 2. Сложение и вычитание римских чисел
Цифры майя (рис. 1) также, как и римские цифры, относятся к непозиционным системам счисления. В данном случае алгоритмические числа получаются путём «особого» сложения и вычитания: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него (рис. 2).
Позиционная система счисления
Позиционная система счисления — это система, в которой количественное значение числа зависит от позиции цифры в числе.
Основание позиционной системы счисления равно количеству используемых в системе цифр.
Десятичная система счисления
Человек пользуется позиционной десятичной системой счисления. Её алфавитом являются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Десятичная система счисления называется арабской, однако она зародилась в Индии в V веке. В Европе эта система, о которой стало известно из арабских трактатов, распространилась значительно позже. Широкое распространение десятичная система получила только в XVI веке.
Десятичная система счисления позволяет легко и просто выполнить любые арифметические вычисления и записывать сколь угодно большие числа. Именно эта система дала мощный толчок развитию математики как науки!
Представление числа в позиционной системе счисления с основанием q
В чём суть позиционной десятичной системы? Алгоритмические числа образуются так: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все получившиеся значения складываются.
Пример 1
Записать число 555 в виде суммы произведений значения цифр на «веса» разрядов (с помощью свойства позиционной системы счисления).
Решение примера 1
Число 555 состоит из трёх пятерок, однако одно и то же число, стоящее на разных позициях, обозначает разные значения.
Первая пятёрка означает пять сотен, вторая — пять десятков и третья — пять единиц.
Таким образом, 555 = 5 × 100 + 5 × 10 + 5.
Ответ: 555 = 5 × 100 + 5 × 10 + 5.
Пример 2
Запишите число 12 345, используя свойство позиционной системы счисления.
Решение примера 2
12 345 = 1 × 10 000 + 2 × 1 000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 5 =
= 1 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
Ответ: 1 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100.
Отсюда видно, что всякое десятичное число представляется в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. Поэтому говорят о развёрнутой и свёрнутой записи числа.
Развёрнутой записью числа называют запись в общем виде
,
где A — число, q — основание системы счисления, — цифры данной системы счисления, n — количество разрядов, — «вес» разряда. Свёрнутой записью числа называют его обычное представление.
Контрольные вопросы
- Что такое система счисления?
- Какие виды систем счисления существуют?
- Кем используется унарная система счисления?
- В чём отличие позиционной системы счисления от непозиционной?
- Объясните суть получения алгоритмических чисел в непозиционной системы на примере числа IX.
- Опишите свойство десятичной системы счисления, используя в качестве примера число 123.
