Конспект урока: Решение систем уравнений второй степени

Метод подстановки

Системы линейных уравнений можно решить, например, способом подстановки или способом сложения. Эти методы решения вам знакомы, и вы умеете их использовать. Каждый из них можно применить и для решения других систем.

Рассмотрим сначала способ подстановки. Вспомним алгоритм решения системы уравнений для этого метода.

1. выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2. подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего получается уравнение с одной переменной;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. подставить решения уравнения в выражение из пункта 1 и найти соответствующее значение второй переменной.

Воспользуемся этим способом для решения следующей системы.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 25 , \\ x + y = - 7 . \end{cases}$

Решение

1. Выразим из второго уравнения переменную $y$:

$x + y = - 7$, $y = - 7 - x$.

2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим уравнение с одной переменной:

$x^{2} + ( - x - 7 )^{2} = 25$,

$x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 - 25 = 0$,

$2 x^{2} + 14 x + 24 = 0$,

$x^{2} + 7 x + 12 = 0$,

$x_{1} = - 3$; $x_{2} = - 4$.

3. Подставим полученные значения для переменной $x$ в выражение из пункта 1, $y = - 7 - x$:

$y_{1} = - 7 - ( - 3 ) = - 7 + 3 = - 4$,

$y_{2} = - 7 - ( - 4 ) = - 7 + 4 = - 3$.

4. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений $( - 3 ; - 4 )$ и $( - 4 ; - 3 )$.

Ответ: $( - 3 ; - 4 )$, $( - 4 ; - 3 )$.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3 x - y = 2 \\ x^{2} - 4 x + 8 = y \end{cases}$

Метод сложения

Второй способ решения – метод сложения. Суть метода состоит в том, что при сложении (или вычитании) уравнений системы можно получить уравнение с одной переменной.

1. умножить или разделить, при необходимости, обе части уравнения (или обоих уравнений) на число так, чтобы одна из переменных была с одинаковыми или противоположными коэффициентами;

2. сложить (если коэффициенты одинаковые) или вычесть (если коэффициенты противоположные) уравнения почленно;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. подставить решения уравнения в любое из исходных уравнений и найти соответствующее значение второй переменной.

Оба способа пользуются широким распространением и изучение обоих необходимо. 

Рассмотрим применение метода сложения на примере.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 5 x^{2} + y^{2} = 36 , \\ 10 x^{2} + 2 y^{2} = 36 x . \end{cases}$

Решение

1. Умножим обе части первого уравнения на 2 и получим:

$\begin{cases} 10 x^{2} + 2 y^{2} = 72 , \\ 10 x^{2} + 2 y^{2} = 36 x . \end{cases}$

2. Из первого уравнения почленно вычтем второе:

$10 x^{2} + 2 y^{2} - ( 10 x^{2} + 2 y^{2} ) = 72 - 36 x$,

$72 - 36 x = 0$.

3. Решим полученное уравнение:

$72 - 36 x = 0$,

$x = 2$.

4. Подставим полученное значение для переменной $x$ в уравнение $5 x^{2} + y^{2} = 36$:

$5 \cdot 2^{2} + y^{2} = 36$,

$y^{2} = 36 - 20$,

$y^{2} = 16$,

$y_{1} = 4$, $y_{2} = - 4$.

5. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений $( 2 ; 4 )$ и $( 2 ; - 4 )$.

Ответ: $( 2 ; 4 )$, $( 2 ; - 4 )$.

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то решить ее бывает трудно. Для ее решения в отдельных случаях применяют метод подстановки и метод сложения.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 18 x^{2} + 21 y^{2} = 61 x , \\ 6 x^{2} + 7 y^{2} = 61 . \end{cases}$

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} , \\ x + y = 4 . \end{cases}$

Решение 

Перепишем систему уравнений в виде: 

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} , \\ x + y = 4 . \end{cases}$

Пусть $t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$. Возведем обе части этого равенства во вторую степень:

$t^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$,

$\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = t^{2} - 2$.

Первое уравнение примет вид $t^{2} - t - 2 = 0$, решением которого являются числа $2$ и $- 1$. 

Тогда из исходной системы уравнений получаем две системы: 

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2 , \\ x + y = 4 , \end{cases}$ или $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = - 1 , \\ x + y = 4 . \end{cases}$

Решим каждую из них.

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2 , \\ x + y = 4 , \end{cases} \begin{cases} \frac{4 - y}{y} + \frac{y}{4 - y} = 2 , \\ x = 4 - y . \end{cases}$

Решим отдельно первое уравнение: 

$\frac{4 - y}{y} + \frac{y}{4 - y} = 2$,

$\frac{16 - 8 y + y^{2} + y^{2} - 2 y \left(4 - y\right)}{y \left(4 - y\right)} = 0$,

$y^{2} - 4 y + 4 = 0$ при $y \neq 0$; $y \neq 4$, 

$y = 2$.

Если $y = 2$, то $x = 2$.

2) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = - 1 , \\ x + y = 4 , \end{cases} \begin{cases} \frac{4 - y}{y} + \frac{y}{4 - y} = - 1 , \\ x = 4 - y . \end{cases}$

Решим отдельно первое уравнение:

$\frac{4 - y}{y} + \frac{y}{4 - y} = - 1$,

$\frac{16 - 8 y + y^{2} + y^{2} + 4 y - y^{2}}{y \left(4 - y\right)} = 0$,

$y^{2} - 4 y + 16 = 0$ при $y \neq 0$; $y \neq 4$.

Последнее уравнение не имеет действительных корней, значит, и система уравнений не имеет решений. 

Ответ: $\left(2 ; 2\right)$.

Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} x y + 2 \left(x - y\right) = 10 , \\ 5 x y - 3 \left(x - y\right) = 11 . \end{array}\right.$

Решение

Пусть $x y = t$, $x - y = m$. Тогда система уравнений примет вид: 

$\begin{cases} t + 2 m = 10 , \\ 5 t - 3 m = 11 , \end{cases} \begin{cases} t = 10 - 2 m , \\ 50 - 10 m - 3 m = 11 , \end{cases} \begin{cases} t = 4 , \\ m = 3 . \end{cases}$

Имеем: 

$\begin{cases} x y = 4 , \\ x - y = 3 , \end{cases} \left\{\begin{array}{l} y \left(3 + y\right) = 4 , \\ x = 3 + y . \end{array}\right.$

Решения первого уравнения: $y_{1} = 1$; $y_{2} = - 4$.

Если $y = 1$, то $x = 4$. 

Если $y = - 4$, то $x = - 1$. 

Ответ: $( 4 ; 1 )$, $( - 1 ; - 4 )$.

Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} \left(x + 4\right) \left(y - 1\right) = x^{2} + 5 x + 4 , \\ x^{2} - x y - 3 x + 8 = 0 . \end{array}\right.$

Решение

Разложим квадратный трехчлен из правой части первого уравнения на множители: 

$x^{2} + 5 x + 4 = \left(x + 4\right) \left(x + 1\right)$.

Первое уравнение примет вид: 

$\left(x + 4\right) \left(y - 1\right) = \left(x + 4\right) \left(x + 1\right)$.

Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки общий множитель:

$\left(x + 4\right) \left(y - x - 2\right) = 0$,

откуда, $x = - 4$ или $y = x + 2$. 

Если $x = - 4$, то из второго уравнения получим $y = - 9$. 

Если $y = x + 2$, то из второго уравнения $x = 1,6$, тогда $y = 3,6$. 

Ответ: $( - 4 ; - 9 )$, $\left(1,6 ; 3,6\right)$.