- Решение системы неравенств с двумя переменными
- Алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными графическим способом
- Примеры
- Уметь находить область решения системы неравенств с двумя переменными
- Знать алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными
- Что является решением неравенства с двумя переменными?
- Что значит решить систему уравнений с двумя переменными?
- Является ли пара чисел $( 1 ; 3 )$ решением системы: $\begin{cases} 2 x + 1 = y , \\ x + y = 4 ? \end{cases}$
Решение системы неравенств с двумя переменными
Неравенство с двумя переменными можно решить графически, изобразив область решения на координатной плоскости. Аналогично можно решить и систему неравенств.
Решение одного неравенства с двумя переменными тесно связано с графическим изображением решения уравнения с двумя переменными. Значит, и решение системы неравенств тесно связано с решением соответствующей системы уравнений.
Вспомним, что систему уравнений с двумя переменными можно решить несколькими способами, один из которых графический. Для этого необходимо построить график каждого уравнения и определить координаты их точек пересечения. Это и будет решение системы уравнений с двумя переменными.
Решение системы неравенств с двумя переменными будет определяться аналогичным образом. Но сначала определим, что будем называть решением системы неравенств с двумя переменными.
Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара чисел, которая обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.
Алгоритм решения системы неравенств графическим способом
Графический метод решения системы неравенств с двумя переменными является единственным способом решения, изучаемым в школе. Его главное достоинство состоит в том, что этот способ является наглядным.
Определим алгоритм решения наших систем.
Алгоритм решения системы неравенств графическим способом:
1. построить область решения каждого неравенства, входящего в эту систему;
2. найти пересечение этих областей.
Пример 1
Изобразите множество решений системы неравенств $\begin{cases} x + y > 0 , \\ y + x^{2} \leq 5 . \end{cases}$
Решение
Рис. 1. Решение системы 1
Решением неравенства $x + y > 0$ является область выше прямой $y = - x$, причём прямая изображена пунктиром, т. к. неравенство строгое (на рис. 1 — голубая область).
Решение второго неравенства $y + x^{2} \leq 5$ — область внутри параболы $y = 5 - x^{2}$, включая саму параболу, т. к. неравенство нестрогое и граница параболы изображена сплошной линией (на рис. 1 — фиолетовая область).
Пересечение голубой и фиолетовой
областей — решение системы неравенств $\begin{cases} x + y > 0 , \\ y + x^{2} \leq 5 . \end{cases}$
Можно сделать вывод, что графический способ даёт лишь наглядное представление о решении системы неравенств с двумя переменными. Решение системы является областью, границы которой — графики соответствующих уравнений с двумя переменными.
Пример 2
Изобразите множество решений системы неравенств $\begin{cases} x y > 2 , \\ x^{2} + y^{2} < 25 . \end{cases}$
Решение
Рис. 2. Решение системы 2
Решением неравенства $x y > 2$ является область вне ветвей гиперболы $x y = 2 ,$причем гипербола изображена пунктиром,
т. к. неравенство строгое (на рис. 2 — зеленая область).
Решение второго неравенства $x^{2} + y^{2} < 25$ — область внутри окружности $x^{2} + y^{2} = 25$, не включая саму окружность, т. к. неравенство строгое и окружность изображена пунктиром (на рис. 2 — голубая область).
Пересечение голубой и зеленой областей — решение системы неравенств $\begin{cases} x y > 2 , \\ x^{2} + y^{2} < 25 . \end{cases}$
Упражнение 1
1. Изобразите множество решений системы неравенств $\begin{cases} x + 2 y < 4 , \\ 2 x - y > 3 . \end{cases}$
2. Изобразите множество решений системы неравенств $\begin{cases} y - x^{2} - 2 x + 3 > 0 , \\ y + 2 x < 0 . \end{cases}$
Контрольные вопросы
1. Может ли система неравенств с двумя переменными не иметь решений? Ответ поясните.
2. Как найти, какие точно значения могут принимать переменные $x$ и $y$, являющиеся решениями системы неравенств с двумя переменными?
Упражнение 1
1.
2.
