Конспект урока: Криволинейное движение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Баллистическое движение

Примером движения тела, брошенного под углом к горизонту, служит вылет снаряда из пушки: сначала снаряд летит вверх, поднимается на некоторую, максимально возможную при данной начальной скорости высоту и начинает падать на землю. Траектория движения такого тела представляет собой параболу, само движение называется баллистическим.
 

Если пренебречь силами сопротивления воздуха и другими возможными потерями, движение тела, брошенного под углом к горизонту, будет обусловлено только действием силы тяжести, следовательно, ускорение тела будет равно ускорению свободного падения g = 10 м/с².

Рассмотрим законы изменения координат и скорости камня, брошенного под углом к горизонту (рис. 1).

Рис. 1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Система отсчёта связана с Землёй, за начало отсчёта примем место, откуда бросили камень. Начальные координаты тела х₀ = 0 м, y₀ = 0 м.

Максимальная высота, на которую поднимается камень во время полёта, — H, максимальное расстояние, на которое тело сместится вдоль оси ОХ во время движения — дальность полёта, — L. Начальный угол между вектором начальной скорости $\left(\overrightarrow{v}\right)_{0}$ и положительным направлением оси ОХ — $\alpha$.

Скорость и время движения тела, брошенного под углом к горизонту

Прежде всего, рассмотрим, как изменяется скорость тела в процессе движения.
 

В начальный момент времени вектор начальной скорости $\left(\overrightarrow{v}\right)_{0}$ направлен под углом $\alpha$к горизонту. В процессе движения изменяется и численное значение, и направление вектора скорости, поэтому, говоря о скорости, мы будем иметь мгновенную скорость тела. Так как баллистическое движение является криволинейным, вектор скорости $\overrightarrow{v}$будет направлен по касательной к траектории тела в любой момент времени.
 

Проекции вектора начальной скорости на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции:

$v_{0 x} = \cos ( \alpha ) \cdot v_{0}$;

$v_{0 y} = \sin ( \alpha ) \cdot v_{0}$.

Как было сказано выше, тело движется только под действием силы тяжести, поэтому ускорение тела $\overrightarrow{a}$ равно ускорению свободного падения $\overrightarrow{g}$. Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю g_x = 0. Следовательно, проекция скорости на ось абсцисс не меняется с течением времени $v_{x} = const$: проекция начальной скорости на ось ОХ равна проекциям скорости на ось ОХ в любой момент времени:

$v_{0 x} = v_{1 x} = v_{2 x} = v_{x}$.

Проекция ускорения на ось ординат не равна нулю и имеет знак «−», так как вектор ускорения направлен противоположно оси OY: g_y = −10 м/с². Вдоль оси OY тело движется равноускоренно, поэтому применим закон изменения скорости для равноускоренного движения:

$\overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{0} + \overrightarrow{a} \cdot t$.

Так как расчёты ведутся с проекциями, а не с векторами, заменим в формуле все векторные величины на их проекции:

$v_{y} = v_{0 y} + g_{y} \cdot t$.

Обратите внимание, что до достижения телом точки с координатой y = H проекции скорости и ускорения на ось OY имеют противоположные знаки: $v_{y} > 0$, $v_{0 y} > 0$, $g_{y} < 0$, поэтому скорость тела на данном участке траектории уменьшается.
 

После прохождения наивысшей точки траектории проекции скорости и ускорения на ось OY будут иметь одинаковые знаки: $v_{y} < 0$, $v_{0 y} > 0$, $g_{y} < 0$, следовательно, на этом участке скорость тела будет увеличиваться.
 

В точке приземления тело достигнет скорости, которая будет равна по модулю начальной скорости: $v_{0} = v_{2}$.

Модуль мгновенной скорости в любой момент времени можно найти по уже известной вам формуле:

$v = \sqrt[2]{\left(v_{x}\right)^{2} + \left(v_{y}\right)^{2}}$.

Заканчивая разговор о скорости, следует детальнее рассмотреть наивысшую точку траектории, точку, ордината которой равна максимальной высоте подъёма: y = H.
 

Как видно из рисунка 1, вектор мгновенной скорости $\overrightarrow{v_{1}}$ в наивысшей точке траектории будет направлен строго горизонтально. Это значит, что его проекция на ось ординат будет равна нулю:

$v_{1 y} = 0$,

тогда справедливо следующее равенство:

$\left(\overrightarrow{v}\right)_{1} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{1 x} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{2 x} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{0 x} = \left(\overrightarrow{v}\right)_{x}$.

Используя соотношение $v_{1 y} = 0$, можно найти время подъёма тела на максимальную высоту. Для этого воспользуемся формулой выше, подставив значения скорости, соответствующие данной точке траектории:

$v_{1 y} = v_{0 y} + g_{y} \cdot t \Leftrightarrow 0 = v_{0 y} - g \cdot t_{\uparrow} \Leftrightarrow v_{0 y} = g \cdot t_{\uparrow}$.

Выразим из этой формулы время:

$t_{\uparrow} = \frac{v_{0 y}}{g}$,

где $t_{\uparrow}$ с — время подъёма тела на максимальную высоту H;
$v_{0 y}$ м/с — проекция начальной скорости на ось OY;
g = 10 м/с² — модуль ускорения свободного падения.

Так как при описании баллистического движения мы пренебрегаем потерями энергии, время подъёма на максимальную высоту $t_{\uparrow}$ будет равно времени падения тела $t_{\downarrow}$, тогда всё время полёта $t_{\pi}$ можно найти по следующей формуле:

$t_{\pi} = 2 \cdot t_{\uparrow} = \frac{2 \cdot v_{0 y}}{g}$.

Законы изменения координат и перемещение тела, брошенного под углом к горизонту

Мы уже выяснили, что проекция ускорения тела на ось ОХ при баллистическом движении равна нулю g_x = 0, поэтому вдоль оси абсцисс тело движется равномерно.
 

Тогда закон изменения координаты х такого тела будет иметь следующий вид:
 

$x = x_{0} + v_{x} \cdot t$.
 

В точке падения тела на землю абсцисса данной точки будет равна дальности полёта L. Дальность полёта — это проекция перемещения тела на ось ОХ — $\Delta r_{x}$. Перемещение при равномерном движении равно произведению скорости на время движения. В точке с координатой х = L тело окажется через время $t = t_{\pi}$:
 

$L = v_{x} \cdot t_{\pi}$.
 

Вдоль оси ординат тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с².
 

Тогда закон изменения координаты y такого тела будет иметь следующий вид:

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2}$.

Максимальная высота подъёма H соответствует проекции перемещения тела на ось OY — $\Delta r_{y}$.
 

Перемещение при равноускоренном движении находится по следующей формуле:
 

$\Delta r = v_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$.

В наивысшей точке тело окажется в момент времени $t = t_{\uparrow}$, при этом вдоль оси ординат тело движется со скоростью $v_{y}$ и с ускорением g_y, тогда формула выше принимает следующий вид:
 

$H = v_{0 y} \cdot t_{\uparrow} + \frac{g_{y} \cdot \left(t_{\uparrow}\right)^{2}}{2}$.

При явной подстановке $t_{\uparrow}$ в формулу для максимальной высоты подъёма и $t_{\pi}$ в формулу для дальности полёта, можно получить следующие формулы:

$\begin{cases} H = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} ( \alpha )}{2 g} ; \\ L = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin ( 2 \alpha )}{g} . \end{cases}$

Пример решения задачи

Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Используем данные из приведённого примера для построения траектории движения тела.
 

Рассчитаем координаты тела в разные моменты времени, занесём полученные и уже известные при решении задачи данные в таблицу 1.
 

Таблица 1. Координаты тела в разные моменты времени

Отметим полученные точки на координатной плоскости и нарисуем траекторию движения данного тела (рис. 2).

Рис. 2. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Из полученного рисунка видно, что траектория баллистического движения — парабола. Вектор мгновенной скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения тела.
 

Следует обратить внимание на симметричность рисунка: мы уже говорили о том, что конечная скорость по модулю будет равна начальной $v_{2} = v_{0}$, а время движения вверх равно времени движения вниз $t_{\uparrow} = t_{\downarrow}$. Более того, скорость на одинаковой высоте также будет одинакова: так, в моменты времени t = 2 c и t = 8 c тело находится на высоте 80 м, это значит, что мгновенные скорости в эти моменты времени также будут равны по модулю $v ( 2 ) = v ( 8 )$.

Итоги

• Мгновенную скорость тела, брошенного под углом к горизонту, в любой момент времени можно найти через проекции вектора скорости на координатные оси: $v = \sqrt[2]{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$.
• Зная начальную скорость $\overrightarrow{v_{0}}$ и угол $\alpha$ между вектором $\overrightarrow{v_{0}}$ и положительным направлением оси ОХ, проекции данного вектора на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции: $v_{0 x} = \cos ( \alpha ) \cdot v_{0}$; $v_{0 y} = \sin ( \alpha ) \cdot v_{0}$.
• Вдоль оси ОХ тело, брошенное под углом к горизонту, движется равномерно: $v_{x} = v_{0 x}$.
• Вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с²: $v_{y} = v_{0 y} + g_{y} \cdot t$.
• В наивысшей точке траектории вектор мгновенной скорости $\overrightarrow{v}$ направлен строго горизонтально, поэтому в данной точке его проекция на ось OY равна нулю.
• Время подъёма на максимальную высоту H можно найти через проекцию начальной скорости на ось ординат: $t_{\uparrow} = \frac{v_{0 y}}{g}$.
• Полное время движения t тела, брошенного под углом к горизонту, в два раза больше времени движения тела вверх:  $t_{\pi} = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot \frac{v_{0 y}}{g}$.
• Законы изменения координат тела, брошенного под углом к горизонту, имеют следующий вид: $x = x_{0} + v_{x} \cdot t$; $y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2}$.
• Дальность полёта равна произведению проекции скорости на ось ОХ и полного времени движения тела: $L = v_{x} \cdot t_{\pi} = \frac{v_{0}^{2} \sin ( 2 \alpha )}{g}$.
• Максимальная высота подъёма соответствует перемещению тела вдоль оси ординат: $H = v_{0 y} \cdot t_{\uparrow} + \frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} ( \alpha )}{2 g}$.