- Понятие иррационального уравнения
- Методы решения иррациональных уравнений
- Решение иррациональных уравнений
- Знать понятие иррационального уравнения, методы его решения
- Уметь решать иррациональные уравнения
1. Укажите область допустимых значений выражений:
а) $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$;
б) $\sqrt{a b} = \sqrt{- a} \sqrt{- b}$;
в) $\left( \frac{a}{b} \right)^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$;
г) $\sqrt{a^{2}} = - a$;
д) $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$;
е) $\sqrt[6]{x^{2}} = \sqrt[3]{x}$.
2. Определите, какое из двух уравнений является следствием другого:
а) $\frac{x^{2} - 3 x}{x} = 0$ и $x^{2} - 3 x = 0$;
б) $x - 5 = 0$ и $x ( x - 5 ) = 0$.
Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала (корня).
Методы решения иррациональных уравнений
Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается равносильное уравнение, в четную степень – уравнение-следствие. Поэтому основную трудность составляет возведение в четную степень, когда могут появиться посторонние корни, что требует дополнительной проверки всех полученных решений.
Однако, проверки корней можно избежать, если воспользоваться одним из следующих утверждений:
Утверждение 1
Уравнение вида $\sqrt[2 n]{f ( x )} = g ( x )$, где $n \in N$, равносильно системе
$\left\{\right. g ( x \geq 0 \\ f ( x ) = g^{2 n} ( x ) )$
Утверждение 2
Уравнение вида $\sqrt[2 n]{f ( x )} = \sqrt[2 n]{g ( x )}$, где $n \in N$, равносильно системе
$\begin{cases} g ( x ) \geq 0 \\ f ( x ) = g ( x ) \end{cases}$
В этой системе условие $g ( x ) \geq 0$ можно заменить условием $f ( x ) \geq 0$.
Утверждение 3
Уравнение вида $\sqrt[2 n + 1]{f ( x )} = \sqrt[2 n + 1]{g ( x )}$, где $n \in N$, равносильно уравнению $𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 )$.
Утверждение 4
Уравнение вида $\sqrt[2 n + 1]{f ( x )} = g ( x )$, где $n \in N$, равносильно уравнению $f ( x ) = g^{2 n + 1} ( x )$.
Пример 1
Решите уравнение:
1) $\sqrt{6 - 4 x - x^{2}} = x + 4$;
2) $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1$;
3) $\sqrt[3]{x^{3} - 26} = 1$.
Решение
1) $\sqrt{6 - 4 x - x^{2}} = x + 4$.
Решим это уравнение двумя способами.
1 способ. Возведем обе части уравнения во вторую степень:
$6 - 4 x - x^{2} = x^{2} + 8 x + 16 ,$
$x^{2} + 6 x + 5 = 0 ,$
$x_{1} = - 5 ; x_{2} = - 1 .$
Проверка:
Если $x = - 5$, то $\sqrt{6 - 4 ( - 5 ) - \left( - 5 \right)^{2}} = - 5 + 4 ,$
$1 = - 1$ – неверно.
Значит, $x = - 5$ не является корнем уравнения.
Если $x = - 1$, то $\sqrt{6 - 4 ( - 1 ) - \left( - 1 \right)^{2}} = - 1 + 4$,
$3 = 3$ – верно.
Значит, $x = - 1$ является корнем уравнения.
2 способ. Для решения уравнения воспользуемся утверждением 1.
$\begin{cases} x + 4 \geq 0 , \\ 6 - 4 x - x^{2} = x^{2} + 8 x + 16 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq - 4 , \\ x^{2} + 6 x + 5 = 0 , \end{cases} \Leftrightarrow \left\{\right. x \geq - 4 , \\ [ \begin{matrix}x = - 5 , \\ x = - 1 ,\end{matrix} \Leftrightarrow x = - 1 .$
Ответ: –1.
2) $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1$
Решение
ОДЗ: $\begin{cases} 2 x + 5 \geq 0 , \\ x + 6 \geq 0 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq - 2,5 , \\ x \geq - 6 , \end{cases} \Leftrightarrow x \geq - 2,5 .$
$\sqrt{2 x + 5} = 1 + \sqrt{x + 6} .$
Возведем обе части уравнения во вторую степень:
$2 x + 5 = 1 + 2 \sqrt{x + 6} + x + 6 ,$
$2 \sqrt{x + 6} = x - 2$.
Снова возведем обе части уравнения в квадрат, но при условии, что правая часть неотрицательна, т. е.
$x - 2 \geq 0$, $x \geq 2$ (1)
$4 \cdot ( x + 6 ) = x^{2} - 4 x + 4 ,$
$4 x + 24 = x^{2} - 4 x + 4 ,$
$x^{2} - 8 x - 20 = 0 ,$
$x_{1} = 10 ; x_{2} = - 2$
С учетом ОДЗ и условия (1) $x = 10$.
Ответ: 10.
3) $\sqrt[3]{x^{3} - 26} = 1$
Решение
Возведем обе части уравнения в третью степень. Это приведет к уравнению, равносильному данному.
$x^{3} - 26 = 1 ,$
$x^{3} - 27 = 0 ,$
$x = 3$
Ответ: 3.
Иногда иррациональные уравнения удобно решать функционально-графическим способом. Для этого в одной системе координат строят графики обеих частей уравнения и находят точки их пересечений. Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения.
Пример 2
Выясните с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение
$\sqrt{x + 6} = x^{2} - 3$.
Решение
Рис. 1
Пусть $f ( x ) = \sqrt{x + 6}$, $g ( x ) = x^{2} - 3$.
Построим графики функций $f ( x )$, $g ( x )$ в одной системе координат. Видим, что получилось две точки пересечения графиков, их абсциссы $x_{1}$, $x_{2}$ – корни уравнения.
Ответ: 2 корня.
Упражнение
Решите уравнение:
1) $\sqrt{x + 7} + \sqrt{x - 2} = 9$;
2) $\sqrt{2 x^{2} + 8 x + 7} = x + 2$.
Контрольные вопросы
- Дано уравнение, содержащее один корень второй степени. Опишите алгоритм решения такого уравнения.
- Дано уравнение, содержащее три корня второй степени. Опишите алгоритм решения такого уравнения.
Упражнение
1) 18; 2) –1.
