- Введение понятия логарифмического неравенства
- Алгоритм решения логарифмических неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Знать, что такое логарифмическое неравенство, методы его решения
- Уметь решать логарифмические неравенства
1.Возрастающей или убывающей является функция
а) $y = \log_{2} x$; б) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$; в) $y = \log_{0,9} x$.
2. Записать числа:
а) $1 ; 0 ; - 2 ; 4 ; \frac{1}{3}$ в виде логарифма по основанию 2;
б) $1 ; 0 ; - 3 ; 5 ; \frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 3.
3. Найти область определения функций:
а) $y = \log_{2} ( 5 - 2 x )$; б) $y = \log_{\frac{1}{4}} ( x + 9 )$; в) $y = \lg ( x^{2} + 3 )$.
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида
$\log_{a} f ( x ) > \log_{a} g ( x )$, (1)
где $a > 0 , a \neq 1$, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Вообще говоря, знак неравенства может быть любой $( > , < , \leq , \geq )$. Далее в параграфе будем это учитывать.
Простейшие логарифмические неравенства вида
$\log_{a} x > b$ (2)
или
$\log_{a} x < b$ (3)
где $a > 0 , a \neq 1$, имеют решения при любом действительном b.
Рис. 1 Рис. 2
Если $a > 1$ (см. рис. 1), то решение неравенства (2) — $x > a^{b}$, неравенства (3) — $x \in ( 0 ; a^{b} )$.
Если $0 < a < 1$ (см. рис. 2), то решение неравенства (2) — $x \in ( 0 ; a^{b} )$, неравенства (3) — $x > a^{b}$.
Алгоритм решения логарифмического неравенства
- Найти область допустимых значений неравенства.
- Представить (если это возможно) обе части неравенства в виде логарифма по одному и тому же основанию: $\log_{a} f ( x ) > \log_{a} g ( x )$.
- Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция $y = \log_{a} x$: если $a > 1$, то функция возрастает, если $0 < a < 1$, то убывает.
- Перейти к более простому неравенству, учитывая тот факт, что если функция возрастающая, то знак неравенства остается тем же, если убывающая, то меняется на противоположный.
- Решить полученное неравенство, записать ответ с учетом области допустимых значений, найденной в пункте 1.
Метод решения простейших неравенств вида (2), (3), описанный выше, вполне можно заменить этим алгоритмом.
Пример 1
Решить неравенство:
а) $\log_{0,5} ( 1 - x ) > - 1$;
б) $( \log_{3} x - 2 ) \sqrt{x^{2} - 4} \leq 0$;
в) $l o \left(g_{0,1}\right)^{2} x + \log_{0,1} x < 6$;
г) $\log_{7} ( x - 3,5 ) + \log_{7} ( x - 2 ) < 1$.
Решение
а) $\log_{0,5} ( 1 - x ) > - 1$.
ОДЗ: $1 - x > 0 , x < 1$.
Представим –1 в виде логарифма по основанию 0,5: $- 1 = \log_{0,5} 2$. Исходное неравенство примет вид $\log_{0,5} ( 1 - x ) > \log_{0,5} 2$. Основание логарифмической функции $y = \log_{0,5} x$ находится в промежутке $( 0 ; 1 )$, значит, функция убывающая, при переходе от этого неравенства к более легкому, знак поменяется на противоположный, т.е. $1 - x < 2 , \\ x > - 1$
С учетом области допустимых значений решение — $x \in ( - 1 ; 1 )$.
Ответ: $x \in ( - 1 ; 1 )$
б) $( \log_{3} x - 2 ) \sqrt{x^{2} - 4} \leq 0$.
Найдем область допустимых значений неравенства – логарифм определен на множестве положительных чисел, арифметический квадратный корень на множестве неотрицательных чисел, значит
$\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 4 \geq 0 \end{cases}$
Рис. 3
Решением второго неравенства системы является промежуток $( - \infty ; - 2 \left]\right. \cup [ 2 ; + \infty )$. Учитывая первое неравенство системы, получим ОДЗ $x \geq 2$.
Исходное неравенство решим методом интервалов, для этого найдем нули каждого множителя, нанесем их на числовую прямую с учетом области допустимых значений и определим знаки на каждом из получившихся промежутков.
$\log_{3} x - 2 = 0$ или $\sqrt{x^{2} - 4} = 0 ,$
$\log_{3} x = 2 ,$ $x^{2} - 4 = 0 ,$
$x = 9$ $x = \pm 2$
Корень -2 не входит в ОДЗ.
Решением будет отрезок $[ 2 ; 9 \left]\right.$
Ответ: $[ 2 ; 9 \left]\right. .$
в) $l o \left(g_{0,1}\right)^{2} x + \log_{0,1} x < 6$
ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $\log_{0,1} x = t$, тогда неравенство примет вид $t^{2} + t - 6 < 0$, решив которое, найдем $t \in ( - 3 ; 2 )$. Вернемся к исходной переменной:
$\begin{cases} \log_{0,1} x > - 3 , \\ \log_{0,1} x < 2 , \end{cases}$ $\begin{cases} \log_{0,1} x > \log_{0,1} 1000 , \\ \log_{0,1} x < \log_{0,1} 0,01 . \end{cases}$
Так как основание логарифма $a = 0,1 \text{и} 0 < 0,1 < 1$, то
$\begin{cases} x < 1000 , \\ x > 0,01 . \end{cases}$
Или $x \in ( 0,01 ; 1000 )$.
Ответ: $x \in ( 0,01 ; 1000 )$.
г) $\log_{7} ( x - 3,5 ) + \log_{7} ( x - 2 ) < 1$.
Запишем решение этого неравенства несколько иначе. Данное неравенство равносильно системе из трех неравенств:
$\begin{cases} x - 3,5 > 0 , \\ x - 2 > 0 , \\ \log_{7} ( x - 3,5 ) + \log_{7} ( x - 2 ) < \log_{7} 7 , \end{cases}$
которая в свою очередь равносильна каждой из систем
$\begin{cases} x > 3,5 , \\ x > 2 , \\ \log_{7} ( ( x - 3,5 ) ( x - 2 ) ) < \log_{7} 7 , \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3,5 , \\ ( x - 3,5 ) ( x - 2 ) < 7 , \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3,5 , \\ 0 < x < 5,5 . \end{cases}$
Значит, $3,5 < x < 5,5$.
Ответ: $3,5 < x < 5,5$.
Упражнение 1
Решить неравенство:
а) $( 2 - \log_{2} x ) \sqrt{x^{2} - 1} \geq 0$;
б) $l o \left(g_{2}\right)^{2} x + 3 \log_{2} x < - 5$;
в) $\log_{2} ( 2 x + 15 ) < \log_{2} ( 5 x ) + \log_{2} ( x - 4 )$.
Контрольные вопросы
- Если $a > 1 , f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0$, верно ли, что $\log_{a} f ( x ) > \log_{a} g ( x )$ равносильно $f ( x ) < g ( x )$?
- Если $a > 1 , f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0$, верно ли, что $\log_{a} f ( x ) > \log_{a} g ( x )$ равносильно $f ( x ) > g ( x )$?
- Если $0 < a < 1 , f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0$, верно ли, что $\log_{a} ( x ) > \log_{a} g ( x )$ равносильно $f ( x ) < g ( x )$?
- Если $0 < a < 1 , f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0$, верно ли, что $\log_{a} ( x ) > \log_{a} g ( x )$ равносильно $f ( x ) > g ( x )$?
Упражнение 1
а) $[ 1 ; 4 \left]\right.$; б) нет решений; в) $x > 5$.
