- Введение понятия показательного уравнения
- Методы решения показательных уравнений и демонстрация их применения на конкретных примерах
- Знать определение показательного уравнения, методы его решения
- Уметь решать показательные уравнения с использованием свойств степени, с помощью разложения выражений, содержащих степени, на множители, введением новой переменной, функционально-графическим способом
1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:
а) $y = 6,7^{x}$; б) $y = 0,3^{x}$; в) $y = \left( \frac{6}{5} \right)^{x}$.
2. Сравнить:
а) $\left( \frac{8}{3} \right)^{6} \text{и} \left( \frac{8}{3} \right)^{6,3}$; б) $\left( \frac{3}{4} \right)^{9} \text{и} \left( \frac{4}{3} \right)^{- 10}$; в) $\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{- \frac{1}{3}} \text{и} \sqrt{2}^{\frac{1}{3}}$.
3. Представить числа:
а) $1 ; 64 ; \frac{1}{32} ; 0,25$ в виде степени числа 2;
б) $\frac{1}{9} ; 343 ; \sqrt{3} ; \sqrt{\frac{1}{27}}$ в виде степени числа 3.
4. Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному данному? Какие к уравнению-следствию?
Показательное уравнение – уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Методы решения показательных уравнений
1. Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение
$a^{f ( x )} = a^{g ( x )}$ (1)
равносильно уравнению $f ( x ) = g ( x ) , \text{гд} e a > 0 , a \neq 1$.
Пример 1
Решить уравнение $0,3^{6 - 3 x} = 0,09 .$
Решение
$0,3^{6 - 3 x} = 0,09 ,$
$0,3^{6 - 3 x} = 0,3^{2}$,
$6 - 3 x = 2$
$x = \frac{4}{3}$
$x = 1 \frac{1}{3}$
Ответ: $1 \frac{1}{3}$.
2. Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), нужно разложить левую часть уравнения на множители, в частности, вынести за скобки общий множитель, например:
$a^{x + 1} - a^{x - 1} = b$
$a^{x} ( a - \frac{1}{a} ) = b$, и т.д.
Или, например, разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю, например:
$a^{x} = b^{x}$
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = 1$
$\left( \frac{a}{b} \right)^{x} = 1$ и т.д.
Пример 2
Решить уравнение $3^{x - 2} - 3^{x - 3} = 6$.
Решение
$3^{x - 2} - 3^{x - 3} = 6$,
$3^{x - 2} ( 1 - \frac{1}{3} ) = 6$,
$3^{x - 2} = 9$,
$x - 2 = 2 ,$
$x = 4 .$
Ответ: 4.
3. Метод введения новой переменной. Главное, помнить, что показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Пример 3
Решить уравнение $25^{x} + 4 \times 5^{x} - 5 = 0$
Решение
$25^{x} + 4 \times 5^{x} - 5 = 0$
Пусть $5^{x} = t , t > 0$. Тогда уравнение примет вид:
$t^{2} + 4 t - 5 = 0$,
$t_{1} = 1 ; t_{2} = - 5$.
Корень $t_{2} = - 5$ не подходит, т.к. он отрицательный. Вернемся к исходной переменной:
$5^{x} = 1 ,$
$x = 0 .$
Ответ: 0.
4. Функционально-графический метод решения показательного уравнения. В одной и той же системе координат строят графики левой и правой частей уравнения, находят значения абсцисс точек пересечения графиков. По возможности, производят проверку с целью уточнения корня уравнения.
Пример 4
Решить уравнение $9^{| x + 2 |} = 3$.
Решение
Рис. 1
В одной и той же системе координат построим графики функции $y = 9^{| x + 2 |}$ и $y = 3$ (рис. 1).
Графики функций пересекаются в двух точках А(-2,5; 3) и В(-1,5; 3). Абсциссы этих точек и будут решениями исходного уравнения, т.е. $x_{1} = - 2,5 , x_{2} = - 1,5$.
Проверка: если $x = - 2,5$, то $9^{| - 2,5 + 2 |} = 3$,
$9^{0,5} = 3$ – верно, значит $x = - 2,5$ является корнем уравнения;
если $x = - 1,5$, то $9^{| - 1,5 + 2 |} = 3$, $9^{0,5} = 3$ – верно, тогда $x = - 1,5$ тоже является корнем исходного уравнения.
Ответ: -2,5; -1,5.
Замечание: при решении уравнения $f ( x ) = g ( x )$, где $y = f ( x )$ – убывающая функция, а $y = g ( x )$ – возрастающая функция (и наоборот) на одном и том же промежутке, и на этом промежутке находится корень уравнения, то этот корень будет единственным на данном промежутке.
Упражнение 1
Решить уравнение:
а) $\left( \frac{1}{3} \right)^{5 - 2 x} = 27$; б) $4^{x - 3} + 4^{x} = 65$; в) $9^{x} - 10 \times 3^{x} + 9 = 0$; г) $\sqrt{2}^{| 3 - x |} = 4$.
Итак:
- Показательное уравнение – уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
- При решении показательного уравнения нужно свести исходное уравнению к виду $a^{f ( x )} = a^{g ( x )}$, $a \neq 1 , a > 0$. Это можно сделать любым удобным способом: разложением левой части уравнения на множители, заменой переменной, делению обеих частей уравнения на отличное от нуля выражение. Также иногда применим и функционально-графический метод решения.
Контрольные вопросы
- Назовите основные методы решения показательных уравнений.
- Верно ли, что уравнение $4^{3 x - 9} = 64^{x^{2}}$ равносильно уравнению $x - 3 = x^{2}$. Ответ обоснуйте.
- Сколько корней имеет уравнение $5^{x} = 5 - x$? Ответ обоснуйте.
Упражнение 1
а) 4; б) 3; в) 0; 2; г) -1; 7.