- Введение понятия показательного неравенства
- Формулировка утверждений, позволяющих решать показательные неравенства
- Решение показательных неравенств
- Знать определение показательного неравенства, методы его решения
- Уметь решать показательные неравенства различными методами
- Имеет ли смысл выражение $\left( - 5 \right)^{\frac{3}{8}}$?
- Запишите числа в порядке убывания: $( \frac{1}{3} )^{3} , \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{3}} , \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{7}}$
- Решить уравнение $3^{( x - 3 ) ( x - 4 )} = 1$
Показательным неравенством называется неравенство вида
$a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$, (1)
где $a > 0 , a \neq 1$, и все сводящиеся к виду (1) неравенства.
При решении показательных неравенств используют свойства показательной функции:
- Если $a > 1$, то неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ справедливо тогда и только тогда, когда $f ( x ) > g ( x )$.
- Если $0 < a < 1$, то неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ справедливо тогда и только тогда, когда $f ( x ) < g ( x )$.
Для того, чтобы свести неравенство к виду (1) применяют те же преобразования, что и при решении показательных уравнений: разложение левой части неравенства на множители, применение свойств степени, замена переменной.
Пример 1
Решить неравенство:
а) $2^{3 x - 14} > 128$;
б) $4^{x} + 2^{x + 1} - 80 < 0$;
в) $5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 8 \times 10^{x^{2} - 3 x + 2}$;
г) $2^{x} \leq 3 - \sqrt{x}$.
Решение
а) $2^{3 x - 14} > 128$
$2^{3 x - 14} > 2^{7}$
$3 x - 14 > 7$
$x > 7$
Ответ: $x > 7$.
б) $4^{x} + 2^{x + 1} - 80 < 0$
$2^{2 x} + 2 \times 2^{x} - 80 < 0$
Пусть $2^{x} = t , t > 0$, тогда неравенство примет вид $t^{2} + 2 t - 80 < 0$. Решив последнее неравенство, получим $t \in ( - 10 ; 8 )$. Вернемся к исходной переменной:
$- 10 < 2^{x} < 8$. Так как $2^{x} > 0$ для любого x, то $2^{x} < 8 , x < 3$.
Ответ: $x < 3$.
в) $5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 8 \times 10^{x^{2} - 3 x + 2}$
$5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 2^{3} \times 5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 2}$
$5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}$
Так как правая часть неравенства положительна, поделим обе части неравенства на $5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}$, получим
$\frac{5^{x - 1} \times 2^{x + 2}}{5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}} > 1$
$5^{- x^{2} + 4 x - 3} \times 2^{- x^{2} + 4 x - 3} > 1$
$10^{- x^{2} + 4 x - 3} > 10^{0}$
$- x^{2} + 4 x - 3 > 0$
Решение последнего неравенство: $x \in ( 1 ; 3 )$.
Ответ: $( 1 ; 3 )$.
г) $2^{x} \leq 3 - \sqrt{x}$.
Рис. 1
Решим это неравенство графически. В одной и той же системе координат построим графики функций $y = 2^{x}$ и $y = 3 - \sqrt{x}$
Графики пересекаются в точке А(1;2). Решением исходного неравенства является промежуток $x \in [ 0 ; 1 \left]\right.$.
Ответ: $x \in [ 0 ; 1 \left]\right.$.
Упражнение 1
Решить неравенство:
а) $\left( \frac{1}{5} \right)^{4 x - 1,5} < \frac{1}{\sqrt{5}}$;
б) $9^{x} - 7 \times 3^{x} - 18 < 0$;
в) $5^{\frac{x^{2} - 4}{x - 1}} < 1$;
г) $3^{x - 2} < 1 + \sqrt{x + 1}$.
Контрольные вопросы:
1. Какое утверждение верно, если $a > 1$:
1) неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ равносильно неравенству $f ( x ) > g ( x )$;
2) неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ равносильно неравенству $f ( x ) < g ( x )$?
2. Какое утверждение верно, если $0 < a < 1$:
1) неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ равносильно неравенству $f ( x ) > g ( x )$;
2) неравенство $a^{f ( x )} > a^{g ( x )}$ равносильно неравенству $f ( x ) < g ( x )$?
Упражнение 1
а) $x > \frac{1}{2}$; б) $x < 2$; в) $x \in ( - \infty ; - 2 ) \cup ( 1 ; 2 )$; г) $x \in [ - 1 ; 3 )$.
