- Введение понятия логарифмического уравнения
- Основные методы решения логарифмических уравнений
- Решение логарифмических уравнений
- Знать, что такое логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений
- Уметь решать логарифмические уравнения
1. Вспомните свойства логарифмов и логарифмической функции.
2. Представьте число a в виде логарифма по основанию b:
а) a = 3, b = 2
б) a = 0, b = 5
в) a = 4, b = 2
г) a = -1, b = 9.
3. Найти область определения функций:
а) $y = \log_{3} ( 6 x + 2 ) ;$
б) $y = \log_{\frac{1}{4}} ( x^{2} + 3 x - 18 ) ;$
в) $y = \log_{8} ( - x ) .$
4. Что такое равносильные уравнения? Уравнения-следствия?
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
$\log_{a} f ( x ) = \log_{a} g ( x ) ,$ (1)
где $a > 0 , a \neq 1$ и уравнения, сводящиеся к этому виду.
При решении логарифмического уравнения исходное уравнение всевозможными преобразованиями приводят к виду (1), откуда переходят к уравнению вида $f ( x ) = g ( x )$, решают его, проверяют найденные значения подстановкой в исходное уравнение. Или, можно использовать теорему:
Т е о р е м а. Если X – решение системы неравенств
$\begin{cases} f ( x ) > 0 , \\ g ( x ) > 0 , \end{cases}$то уравнение $\log_{a} f ( x ) = \log_{a} g ( x ) ,$ где $a > 0 , a \neq 1$ равносильно на множестве Х уравнению $f ( x ) = g ( x )$.
Иными словами: сначала найти область допустимых значений уравнения $\log_{a} f ( x ) = \log_{a} g ( x ) ,$ затем перейти к уравнению $f ( x ) = g ( x ) ,$ решить его, убедиться, что все найденные корни принадлежат ОДЗ.
Пример 1
Решить:
а)$\log_{2} ( x - 2 ) + \log_{2} ( x - 3 ) = 1 ;$
б)$\log_{3} ( x - 1 ) + 2 \log_{9} ( 17 + x ) = 7 + \log_{\frac{1}{3}} 9 ;$
в)$\left(\log_{2}\right)^{2} ( 1 - x ) - 2 \log_{2} ( 1 - x ) = 3 ;$
г)$\left\{\right. \log_{2} ( x^{2} + y^{2} = 7 , \\ \log_{2} x + 2 \log_{4} y = 6 . )$
Решение
а)$\log_{2} ( x - 2 ) + \log_{2} ( x - 3 ) = 1 .$
1 способ. Применив одно из свойств логарифма, заменим исходное уравнение на уравнение-следствие: $\log_{2} ( ( x - 2 ) ( x - 3 ) ) = 1 .$ Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_{2} 2 .$ Уравнение примет вид: $\log_{2} ( ( x - 2 ) ( x - 3 ) ) = \log_{2} 2 .$ Тогда
$( x - 2 ) ( x - 3 ) = 2 ,$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0 ,$
$x_{1} = 4 ; x_{2} = 1 .$
Проверка:
Если x = 4, то $\log_{2} ( 4 - 2 ) + \log_{2} ( 4 - 3 ) = 1 ,$
$\log_{2} 2 + \log_{2} 1 = 1 ,$
1+0=1 – верно, значит, x = 4 является корнем уравнения.
Если x = 1, то $\log_{2} ( 1 - 2 ) + \log_{2} ( 1 - 3 ) = 1 ,$
$\log_{2} ( - 1 ) + \log_{2} ( - 2 ) = 1$ – неверно, т.к. левая часть уравнения теряет смысл, значит, x = 1 не является корнем уравнения.
2 способ. ОДЗ: $\begin{cases} x - 2 > 0 , \\ x - 3 > 0 , \end{cases} \begin{cases} x > 2 , \\ x > 3 , \end{cases} x > 3 .$
От исходного уравнения перейдем к уравнению $( x - 2 ) ( x - 3 ) = 2 ,$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0 ,$
$x_{1} = 4 ; x_{2} = 1 .$
Корень x=1 не принадлежит ОДЗ, значит x=4.
Ответ: 4.
б)$\log_{3} ( x - 1 ) + 2 \log_{9} ( 17 + x ) = 7 + \log_{\frac{1}{3}} 9 .$
ОДЗ: $\left\{\right. x - 1 > 0 , \\ 17 + x > 0 , \left\{\right. x > 1 , \\ x > - 17 , x > 1 .$
$\log_{3} ( x - 1 ) + 2 \log_{3^{2}} ( 17 + x ) = 7 \times \log_{3} 3 + \log_{3^{- 1}} 3^{2} ,$
$\log_{3} ( x - 1 ) + \log_{3} ( 17 + x ) = \log_{3} 3^{7} - \log_{3} 3^{2} ,$
$\log_{3} ( ( x - 1 ) ( 17 + x ) ) = \log_{3} \frac{3^{7}}{3^{2}} ,$
$( x - 1 ) ( 17 + x ) = 243 ,$
$x^{2} + 16 x - 260 = 0 ,$
$x_{1} = - 26 , x_{2} = 10 .$
Корень x=-26 не принадлежит ОДЗ уравнения, значит, x=10.
Ответ: 10.
в)$\left(\log_{2}\right)^{2} ( 1 - x ) - 2 \log_{2} ( 1 - x ) = 3 .$
ОДЗ: 1 - x > 0, x < 1.
Пусть $\log_{2} ( 1 - x ) = t ,$ тогда уравнение примет вид $t^{2} - 2 t - 3 = 0 , t_{1} = 3 , t_{2} = - 1 .$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{2} ( 1 - x ) = 3 \text{или} \log_{2} ( 1 - x ) = - 1$
$1 - x = 8,1 - x = \frac{1}{2} ,$
$x = - 7 . x = \frac{1}{2} .$
Оба корня входят в ОДЗ уравнения.
Ответ: -7; $\frac{1}{2} .$
г) $\left\{\right. \log_{2} ( x^{2} + y^{2} = 7 , \\ \log_{2} x + 2 \log_{4} y = 6 . )$
ОДЗ: x > 0, y > 0.
$\left\{\right. \log_{2} ( x^{2} + y^{2} = \log_{2} 128 , \\ \log_{2} x + \log_{2} y = \log_{2} 64 , ) \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 128 , \\ x y = 64 . \end{cases}$
Умножим второе уравнение системы на 2 и вычтем из первого уравнения второе:
$x^{2} - 2 𝑥 𝑦 + \text{у}^{2} = 0 ,$
$\left( 𝑥 - 𝑦 \right)^{2} = 0 ,$
$𝑥 = 𝑦 .$
Подставим найденное значение для переменной в первое уравнение: $2 x^{2} = 128 , x = \pm 8 .$
Из второго уравнения системы выразим переменную y: $y = \frac{64}{x}$.
Если x=8, то $y = \frac{64}{x} = 8 .$ Если x = -8, то $y = \frac{64}{- 8} = - 8 .$ Так как по ОДЗ x, y – положительные числа, то решение (8;8).
Ответ: (8; 8).
Упражнение 1
Решить уравнение:
а)$\log_{3} ( x^{3} + x ) - \log_{3} x = \log_{3} 10 ;$
б)$\left(\log_{\frac{1}{3}}\right)^{2} ( x - 2 ) + \log_{\frac{1}{3}} ( x - 2 ) = 2 ;$
в)$\begin{cases} \log_{4} x - \log_{4} y = \log_{4} 8 , \\ 4 y^{2} + x - 5 = 0 . \end{cases}$
Контрольные вопросы
1. Верно ли, что уравнение $a^{f ( x )} = a^{g ( x )} ,$ где $a > 0 , a \neq 1$, равносильно уравнению $f ( x ) = g ( x ) ?$
2. Верно ли, что уравнение $\log_{a} f ( x ) = \log_{a} g ( x ) ,$ где $a > 0 , a \neq 1$, равносильно уравнению $f ( x ) = g ( x ) ?$
3. Сколько корней имеет уравнение $\log_{4} x = 4 - 3 x ?$
Упражнение 1
а)3;
б)$2 \frac{1}{3} ; 11 ;$
в)$( 4 ; \frac{1}{2} ) .$
