Конспект урока: Иррациональные неравенства

План урока

• Понятие иррационального неравенства 
• Методы решения иррациональных неравенств 
• Решение иррациональных неравенств 

Цели урока

• Знать понятие иррационального неравенства, методы его решения
• Уметь решать иррациональные неравенства

Разминка

1. Найдите область допустимых значений неравенств
 

1) $\frac{\sqrt{x - 5} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{12 - x}} \geq 5$;

2) $\sqrt{\frac{( x - 5 ) x}{12 - x} \leq 3}$.

 

2. Какой функции соответствует график:
 

1) $y = \sqrt{x}$;     2) $y = \sqrt{x} + 4$;     3) $y = \sqrt{x + 4}$;     4) $y = \sqrt{x - 4}$

Иррациональные неравенства 

Методы решения иррациональных неравенств 

Основным методом избавления от корня $n$ −й степени является возведение обеих частей неравенства в $n$ −ую степень. Но следует помнить, что такое действие может привести к потере решений или получению посторонних. 

Решите неравенство:

1) $\sqrt{4 - x} < - 5$;

2) $\sqrt{4 - x} < 5$;

3) $\sqrt{4 - x} > 5$;

4) $\sqrt{4 - x} > - 5$;

5) $\sqrt{x + 8} < x + 2$.

Решение
 

1) $\sqrt{4 - x} < - 5$
 

Левая часть неравенства неотрицательна при всех $x$ из области допустимых значений ($x \leq 4$). Значит, она не может принимать значений, меньших $- 5$. 

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt{4 - x} < 5$
 

ОДЗ: $x \leq 4$. Возведем обе части неравенства во вторую степень: $4 - 𝑥 < 25$, откуда $𝑥 > - 21$. Тогда решением неравенства будет промежуток $( - 21 ; 4 \left]\right.$. 

Ответ: $( - 21 ; 4 \left]\right.$. 

3) $\sqrt{4 - x} > 5$
 

ОДЗ: $x \leq 4$. Возведем обе части неравенства в квадрат: $4 - x > 25$, откуда $x < - 21$. Тогда решением неравенства будет промежуток $( - \infty ; - 21 )$.

Ответ: $( - \infty ; - 21 )$.

4) $\sqrt{4 - x} > - 5$
 

ОДЗ: $x \leq 4$. На этом промежутке левая часть неравенства определена и неотрицательна. Тогда решением будут все значения $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \leq 4$.

5) $\sqrt{x + 8} < x + 2$
 

ОДЗ: $x \geq - 8$. Нужно избавиться от корня, а для этого возвести в квадрат обе части неравенства. Но правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Поэтому рассмотрим два случая: 

1 случай. Если $x + 2 < 0$, $x < - 2$, то неравенство не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна. 
 

2 случай. Если $x + 2 \geq 0$, $x \geq - 2$, то обе части неравенства неотрицательны, возведем их во вторую степень. Получим $x + 8 < x^{2} + 4 x + 4$, равносильное исходному. Таким образом, неравенство $\sqrt{x + 8} < x + 2$ равносильно системе неравенств $\begin{cases} x \geq - 2 , \\ x^{2} + 3 x - 4 > 0 . \end{cases}$ Решив данную систему, получим $x > 1$.

Ответ:  $x > 1$.

Для решения неравенств такого типа как в примере 1 5) можно воспользоваться утверждением. 

Неравенство вида $\sqrt{f ( x )} < g \left(x\right)$ равносильно системе
 

$\left\{\begin{array}{l} f \left(x\right) \geq 0 \\ g \left(x\right) > 0 \\ f \left(x\right) < g^{2} \left(x\right) \end{array}\right.$

Неравенство вида $\sqrt{f \left(x\right)} \leq g \left(x\right)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l} f \left(x\right) \geq 0 \\ g \left(x\right) \geq 0 \\ f \left(x\right) \leq g^{2} \left(x\right) \end{array}\right.$

Решите неравенство $\sqrt{x + 8} > x + 2$. 

Решение

ОДЗ: $𝑥 \geq - 8$. Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим два случая, когда правая часть неотрицательна и отрицательна. 

1 случай. Если $𝑥 + 2 < 0$, $𝑥 < - 2$, то решением неравенства являются все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств $\begin{cases} x + 8 \geq 0 , \\ x + 2 < 0 , \end{cases}$ откуда $x \in [ - 8 ; - 2 )$,

2 случай. Если $𝑥 + 2 \geq 0$, $𝑥 \geq - 2$, то возведем в квадрат обе части неравенства. Исходное неравенство будет равносильно системе неравенств $\begin{cases} x \geq - 2 , \\ x^{2} + 3 x - 4 < 0 . \end{cases}$ Решив последнюю, получим $x \in [ - 2 ; 1 )$. 

Для записи решения объединим решения двух случаев: $x \in [ - 8 ; 1 )$.

Ответ: $[ - 8 ; 1 )$.

Неравенство вида $\sqrt{f ( x )} > g \left(x\right)$ равносильно совокупности двух систем неравенств  $\begin{cases} g ( x ) < 0 , \\ f ( x ) \geq 0 \end{cases}$ и $\left\{\begin{array}{l} g ( x ) \geq 0 , \\ f \left(x\right) > g^{2} \left(x\right) . \end{array}\right.$

Неравенство вида $\sqrt{f \left(x\right)} \geq g \left(x\right)$ равносильно совокупности двух систем неравенств $\left\{\begin{array}{l} g \left(x\right) \leq 0 , \\ f \left(x\right) \geq 0 \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l} g \left(x\right) > 0 , \\ f \left(x\right) \geq g^{2} \left(x\right) . \end{array}\right.$

$\sqrt{f \left(x\right)} < \sqrt{g \left(x\right)} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} f \left(x\right) < g \left(x\right) \\ f \left(x\right) \geq 0 \end{array}\right.$

Неравенство вида $f \left(x\right) \cdot \sqrt{g \left(x\right)} \geq 0$ равносильно совокупности двух систем $\left\{\begin{array}{l} g \left(x\right) = 0 , \\ f \left(x\right) o\text{п}pe\text{д}e\text{л}e\text{н}a \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l} g \left(x\right) > 0 , \\ f \left(x\right) \geq 0 . \end{array}\right.$

При решении неравенств вида $\sqrt{f \left(x\right)} \pm \sqrt{g \left(x\right)} < h \left(x\right)$ (знак может быть $>$) можно воспользоваться следующим алгоритмом: 

1. найти область допустимых значений неравенства;
2. возвести обе части неравенства во вторую степень;
3. выполнить преобразования так, чтобы выражение под корнем стояло по одну сторону от знака неравенства, все остальное – по другую сторону;
4. возвести обе части неравенства во вторую степень;
5. решить получившееся неравенство;
6. выбрать решения, удовлетворяющие области допустимых значений.

Решите неравенство:
 

1) $\sqrt{4 x - 2} < - 1$;

2) $\sqrt{1 - 2 x} \leq 6$;

3) $\sqrt{\frac{x}{3} - 2} \geq - 2$;

4) $\sqrt{x^{2} - x - 12} < x$;

5) $\sqrt{x - 3} > x - 5$