Конспект урока: Температура — мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул. Распределение молекул газа по скоростям

Газы в состоянии теплового равновесия

Заметим, что давление является термодинамическим параметром, иными словами, макропараметром, а концентрация и средняя квадратичная скорость или средняя кинетическая энергия молекул, напротив, микропараметрами. Таким образом, основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа устанавливает связь между макропараметром, который можно измерить с помощью приборов, и микроскопическими параметрами газа, которые измерить уже не получится. То есть, измерив только давление газа, мы не можем узнать ни среднее значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их концентрацию. Поэтому для нахождения микроскопических параметров газа требуется измерение ещё какой-то физической величины, которая будет связана со средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в физике является температура.

Множество экспериментов по исследованию свойств идеальных газов показали, что для любых газов, находящихся в состоянии теплового равновесия, отношение произведения давления газа на его объём к числу молекул оказывается одинаковым:
 

$\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{N_{1}} = \frac{p_{2} \cdot V_{2}}{N_{2}} = \frac{p_{3} \cdot V_{3}}{N_{3}} = \theta$.

Этот опытный факт позволяет принять величину $\theta$ в качестве естественной меры температуры. Так как $n = \frac{N}{V}$, то с учётом основного уравнения молекулярно-кинетической теории 

$p = \frac{1}{3} \cdot m_{0} \cdot n \cdot \left(\bar{v}\right)_{\text{кв}}^{2}$;

получим

$\frac{p \cdot V}{N} = \frac{1}{3} m_{0} \left(\bar{v}\right)_{\text{кв}}^{2} = \frac{2}{3} \cdot \overline{E} = \theta$.

Получается, что средняя кинетическая энергия молекул любых газов, находящихся в тепловом равновесии, одинакова. Величина $\theta$ равна двум третям средней кинетической энергии беспорядочного теплового движения молекул газа, а это значит, что она выражается в джоулях (Дж). Величина $\theta$ связана с абсолютной температурой $T$ уравнением:

$\theta = k \cdot T$,
 

где $k$ — постоянная Больцмана, названная в честь австрийского физика Людвига Больцмана — одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Чтобы понять, чему равна постоянная Больцмана, достаточно вспомнить уравнение Менделеева – Клапейрона:

$p V = \frac{m}{M} R T = \frac{N}{N_{A}} R T = N \frac{R}{\underset{k}{\underbrace{N_{A}}}} T$.
 

Как видно из последнего равенства, постоянная Больцмана выражается через две другие константы.

Переписывая уравнение Менделеева – Клапейрона как

$\frac{p V}{N} = k T$,

можно получить ещё одну запись основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$p = n k T$.

Данное уравнение показывает, что при одинаковых значениях температуры и концентрации молекул давление любых газов одинаково независимо от того, из каких молекул они состоят.

Температура — мера средней кинетической энергии

Из приведённых выше рассуждений следует, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу идеального газа, прямо пропорциональна абсолютной температуре газа:

$\overline{E} = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T$.

Тогда можно сделать вывод, что с точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура является физической величиной, характеризующей среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул. Из последнего уравнения следует, что при $T = 0$ средняя кинетическая энергия равна нулю, а значит, и среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул идеального газа должна стать равной нулю, то есть при нулевой абсолютной температуре молекулы идеального газа должны покоиться. Этим и обусловлен выбор нулевого значения абсолютной температуры по шкале Кельвина.

Последним осталось выразить среднеквадратичную скорость $v_{\text{кв}}$ через абсолютную температуру $T$. Записывая выражения для средней кинетической энергии молекул через абсолютную температуру и по определению, можно получить

$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{m_{0}}}$.

Внутренняя энергия идеального газа

Вычислим внутреннюю энергию идеального газа. При этом учтём, что молекулы в модели идеального газа не взаимодействуют на расстоянии. Если потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий хаотического теплового движения всех его молекул:

$U = N \cdot \overline{E} = \nu \cdot N_{A} \cdot \frac{3}{2} k \cdot T = \frac{3}{2} \nu \cdot R \cdot T = \frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R \cdot T$.
 

Это выражение для внутренней энергии справедливо в случае, когда кинетическая энергия молекул представляет собой сумму кинетических энергий только поступательного хаотического движения. Другими словами, энергию, связанную с вращением молекул и колебаниями атомов в молекулах, считают пренебрежимо малой и полагают равной нулю. Это предположение допустимо только для одноатомных газов.

Внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре. Следовательно, при изменении температуры идеального газа обязательно изменяется его внутренняя энергия; если температура остаётся постоянной, то внутренняя энергия идеального газа не изменяется.

Воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона $p V = v R T$, можно получить ещё одно выражение для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа:

$U = \frac{3}{2} \cdot p \cdot V$.