- Второй признак равенства треугольников
- Решение задач
- Знать второй признак равенства треугольников
- Уметь применять его при решении задач
- Какие геометрические фигуры называются равными?
- Какие треугольники называются равными?
- Что важно знать про элементы в равных треугольниках?
- Сформулируйте первый признак равенства треугольников
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рис. 1.
Рассмотрим треугольники $A B C$ и $T O M$, у которых $A C = T M$, $\angle A = \angle T$, $\angle C = \angle M$. Надо доказать, что $\Delta A B C = \Delta T O M$.
1) Наложим треугольник $A B C$ на треугольник $T O M$ так, чтобы вершины $A$ и $T$, стороны $A C$ и $T M$ совместились, вершины $B$ и $O$
лежали по одну сторону от прямой $A C$.
2) По условию $\angle A = \angle T$, значит, при наложении луч $A B$ совместится с лучом $T O$.
По условию $\angle C = \angle M$, значит, при наложении луч $C B$ совместится с лучом $M O$.
3) Точка $B$, общая для лучей $A B$ и $C B$, совместится с точкой $O$, общей для лучей $T O$ и $M O$. Значит, стороны $A B$ и $T O$, $C B$ и $M O$ совместятся.
Треугольники $A B C$ и $T O M$ полностью совместятся при наложении, поэтому $\Delta A B C = \Delta T O M$.
Пример 1
Рис. 2. Пример 1
Отрезок $S M$ пересекает отрезок $D K$ в точке $A$, причём, точка $A$ - середина отрезка $S M$, $\angle D S A = \angle K M A$ (рис. 2). Доказать, что $\Delta S A D = \Delta M A K$.
Решение
Рассмотрим $\Delta S A D$ и $\Delta M A K$:
$S A = A M$ - т. к. точка $A$ - середина $S M$;
$\angle D S A = \angle K M A$ - по условию;
$\angle S A D = \angle M A K$ - вертикальные.
$\Delta S A D = \Delta M A K$ - по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Что и требовалось доказать.
Упражнение 1
Рис. 3. Упражнение 1
1) На рисунке 3 $DO=PO,\angle1=\angle2.$ Доказать, что $D M = P L$.
Рис. 4. Упражнение 1
2) Используя данные рисунка 4, докажите, что $\Delta L E V = \Delta P E S$.
3) В равнобедренном треугольнике $K O T$ с основанием $T O$ проведены биссектрисы $T M$ и $O E$. Докажите, что $\Delta T M K = \Delta O K E$.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
- Докажите этот признак.
Упражнение 1
1. Указание. Докажите равенство треугольников $D O M$ и $P O L$.
3. Указание. Примените свойство углов при основании в равнобедренном треугольнике.
