- Свойство описанного четырехугольника
- Примеры
- Знать свойство и признак описанного четырехугольника;
- Уметь определять описанные четырехугольники;
- Уметь применять свойство описанного четырехугольника при решении задач.
- В какие фигуры можно вписать окружность?
- Закончи свойство: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, …
- Где лежит центр вписанной в треугольник окружности?
Свойство описанного четырехугольника
Вспомним, что многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны являются касательными к окружности. Окружность всегда можно вписать в треугольник и в любой правильный многоугольник.
Рис. 1. Описанный четырехугольник
Рассмотрим четырёхугольник $A B C D$, в который вписана окружность (рис. 1). Пусть $M$, $N$, $K$, $P$ — точки касания сторон четырехугольника.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, поэтому
$A M = A P = x$, $B M = B N = y$,
$C N = C K = z$, $D K = D P = v$.
На рисунке 1 равные отрезки обозначены одним цветом. Если рассмотреть суммы длин противоположных сторон:
$A B + C D = ( A M + B M ) + ( C K + D K ) = x + y + z + v$
$A D + B C = ( A P + D P ) + ( B N + C N ) = x + v + y + z$,
то можно сделать вывод, что
$A B + C D = A D + B C$.
Таким образом, получили свойство описанного около окружности четырехугольника.
Свойство описанного четырехугольника
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Обратное утверждение является признаком того, что в четырехугольник можно вписать окружность.
Признак описанного четырехугольника
Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Пример 1
В четырёхугольник $A B C D$ вписана окружность, $A B = 13$, $B C = 7$ и $A D = 11$. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
Решение
По свойству описанного четырехугольника:
$A B + C D = A D + B C$
Тогда длину стороны можно вычислить по формуле:
$C D = A D + B C - A B = 11 + 7 - 13 = 5$
Ответ: 5.
Пример 2
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны $15$ и $22 .$ Найдите среднюю линию трапеции.
Решение
Пусть $a$, $b$ — длины оснований трапеции, $m$, $n$ — длины боковых сторон. Тогда по свойству описанного четырехугольника:
$a + b = m + n = 15 + 22 = 37$.
Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований, т.е.
$l = \frac{a + b}{2} = \frac{37}{2} = 18,5$.
Ответ: 18,5.
Упражнение 1
1. В четырёхугольник $A B C D$ вписана окружность, $A B = 22$, $C D = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $A B C D$.
2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны $12$ и$15 .$ Найдите среднюю линию трапеции.
3. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен $40 ,$ её большая боковая сторона равна $11 .$ Найдите радиус окружности.
Контрольные вопросы
1. Каким свойством касательных мы пользовались при выводе свойства описанного четырехугольника?
2. Как определить, можно ли вписать окружность в четырехугольник?
3. В какой параллелограмм можно вписать окружность?
Упражнение 1
1. $78 .$
2. $13,5 .$
3. $4,5$