- Свойство вписанного четырехугольника
- Примеры
- Уметь определять вписанные четырехугольники;
- Уметь применять свойство вписанного четырехугольника для решения задач.
- Какие фигуры можно вписать в окружность?
- Каким свойством обладает прямоугольный треугольник, вписанный в окружность?
- Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
Свойство вписанного четырехугольника
Не всякую фигуру можно вписать в окружность. Вообще, многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.
Рис. 1. Вписанный четырехугольник
Известно, что в окружность можно вписать любой треугольник и любой правильный многоугольник. А вот произвольный четырехугольник не всегда удается вписать в окружность.
Рассмотрим четырехугольник $A B C D$, который вписан в некоторую окружность (рис. 1). Все углы этого четырехугольника являются вписанными, значит, каждый из них равен половине дуги, на которую он описается.
Рассмотрим противолежащие углы $\angle B A D$ и $\angle B C D .$ Так как они являются вписанными, имеем
$\angle B A D = \frac{1}{2} ◡ \overset{}{B C D}$, $\angle B C D = \frac{1}{2} ◡ \overset{}{B A D}$.
Найдем сумму этих углов
$\angle B A D + \angle B C D = \frac{1}{2} ◡ \overset{}{B C D} + \frac{1}{2} ◡ \overset{}{B A D} = \frac{1}{2} \left(◡ \overset{}{B C D} + \overset{}{◡ B A D}\right) =$
$= \frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$, значит, сумма других противоположных углов также равна $180^{\circ}$
$\angle A B C + \angle A D C = 360^{\circ} - ( \angle B A D + \angle B C D ) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
Получили свойство вписанного четырехугольника.
Свойство выпуклого четырехугольника
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$.
Обратное утверждение является признаком вписанного четырехугольника.
Признак выпуклого четырехугольника
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^{\circ}$, то около него можно описать окружность.
Пример 1
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $63^{\circ}$ и $76^{\circ}$. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Рис. 2. Вписанный четырехугольник ABCD
Для начала определим углы, равные $63^{\circ}$ и $76^{\circ}$.
$63^{\circ} + 76^{\circ} = 139^{\circ} \neq 180^{\circ}$,
значит, эти углы прилежат к одной стороне четырехугольника.
Пусть $\angle A = 63^{\circ}$, $\angle B = 76^{\circ}$ для четырехугольника $A B C D$ на рисунке 2.
Тогда по свойству вписанного четырехугольника:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ}$,
$\angle D = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$.
Величина меньшего из оставшихся углов равна $104^{\circ}$.
Ответ: $104^{\circ}$.
Пример 2
Определить вид вписанной трапеции.
Решение
Рис. 3. Вписанная трапеция
По свойству вписанного четырехугольника
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна $180^{\circ}$ т.е.
$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
Получили, что
$\angle A + \angle C = \angle B + \angle C$,
значит,
$\angle A = \angle B$.
Углы $A$ и $B$ – это углы при основании трапеции. Значит, трапеция равнобедренная.
Ответ: равнобедренная.
Упражнение 1
1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $78^{\circ}$ и $113^{\circ} .$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2. Один из углов вписанной в окружность трапеции равен$56^{\circ} .$ Найти оставшиеся углы.
3. Четырехугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол
$A = 84^{\circ}$, а диагональ $A C$ — диаметр окружности. Найдите оставшиеся углы этого четырехугольника.
Контрольные вопросы
1. Как определить можно ли вписать четырехугольник в окружность?
2. Какие четырехугольники всегда можно вписать в окружность? Почему?
Упражнение 1
1. $102^{\circ} ;$
2. $56^{\circ} , 124^{\circ} , 124^{\circ} ;$
3. $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$, $\angle C = 96^{\circ}$.
