- Теорема Менелая
- Теорема Чевы
- Знать формулировку и доказательство теорем Менелая и Чевы
- Уметь применять изученные теоремы при решении геометрических задач
- Что такое отношение направленных отрезков?
- Когда можно сделать вывод о том, что векторы являются противоположно направленными?
- Перечислите варианты взаимного расположения точки и прямой, двух прямых.
Теорема Менелая
Теорема Менелая — это классическая теорема аффинной геометрии. Она была доказана в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 г. н. э.).
Для того чтобы перейти к теореме Менелая и её доказательству, рассмотрим отношение направленных отрезков.
Отношением $\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}$ направленных отрезков $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b} ,$ которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называется число $n .$ Из этого следует, что $\overrightarrow{a} = n \cdot \overrightarrow{b} .$Если $n > 0 ,$ то $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b} –$сонаправленные векторы.
Если $n < 0 ,$ то $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b} –$противоположно направленные векторы.
Рис. 1
Пусть дан треугольник $A B C$ и на прямых $A B ,$ $B C$ и $C A$ отмечены точки $C_{1} , A_{1} , B_{1} ,$ не совпадающие с его вершинами (рис. 1) и $\overrightarrow{A C_{1}} = p \overrightarrow{C_{1} B} ,$ $\overrightarrow{B A_{1}} = \overrightarrow{q A_{1} C} ,$ $\overrightarrow{C B_{1}} = r \overrightarrow{B_{1} A} .$
Числа $p , q , r$ не равны $0$ и $- 1 ,$ так как при равенстве нулю, точки $C_{1} , A_{1} , B_{1}$ совпадают с вершинами треугольника $A B C ,$ а если, например, $p = - 1 ,$ то $\overrightarrow{A C_{1}} = - \overrightarrow{C_{1} B} ,$ откуда $\overrightarrow{A C_{1}} + \overrightarrow{C_{1} B} = \overrightarrow{A B} = \overrightarrow{0} ,$ т. е. вершины $A$ и $B$ совпадут, что противоречит условию.
Тогда, при каком соотношении между числами $p , q , r$ точки $C_{1} , A_{1} , B_{1}$ лежат на одной прямой? Ответить на этот вопрос нам поможет теорема Менелая.
Теорема
Пусть на сторонах или продолжениях сторон $A B ,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1} , A_{1} , B_{1} ,$ не совпадающие с его вершинами, причём $\overrightarrow{A C_{1}} = p \overrightarrow{C_{1} B} ,$ $\overrightarrow{B A_{1}} = \overrightarrow{q A_{1} C} ,$ $\overrightarrow{C B_{1}} = r \overrightarrow{B_{1} A} .$ Тогда если точки $C_{1} , A_{1} , B_{1}$ лежат на одной прямой, то $p q r = - 1 ;$ обратно: если $p q r = - 1 ;$ то точки $C_{1} , A_{1} , B_{1}$ лежат на одной прямой.
Данная теорема может быть сформулирована и в другом виде:
Теорема
Если на сторонах $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1}$ и $A_{1} ,$ а точка $B_{1}$ взята на продолжении стороны $A C$ за точку $C$ (рис.2), то точки $C_{1} ,$ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Докажем эту теорему:
Рис. 2
1. Пусть точки $C_{1} ,$ $A_{1}$ и $B_{1}$лежат на одной прямой.
Проведём через точку $C$ прямую $C M \parallel A B ,$ $M \in C_{1} B_{1}$ (рис. 3).
Треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $C M B_{1}$ подобны по двум углам, следовательно:
$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{C M}{C B_{1}}$
Рис. 3
Треугольники $C_{1} B A_{1}$ и $A_{1} M C$ подобны по двум углам, следовательно:
$\frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{A_{1} C}{C M}$
Перемножим полученные равенства:
$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{C M}{C B_{1}} \cdot \frac{A_{1} C}{C M} ;$
$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{A_{1} C}{C B_{1}} \left|\cdot \frac{C B_{1}}{A_{1} C} ;$
$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A_{1} C} = 1 ;$
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Что и требовалось доказать
2. Докажем теперь, что если выполняется равенство $\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1 ,$ то точки $C_{1} ,$ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой:
Проведём прямую через точки $C_{1}$ и $A_{1}$и обозначим буквой $N$ точку пересечения этой прямой с прямой $A C$ (рис. 4).
Рис. 4
Так как точки $C_{1} ,$ $A_{1}$ и $N$ лежат на одной прямой (по построению), то выполняется равенство:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$
По условию:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Разделим первое равенство на второе и получим:
$\frac{C N}{N A} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1 ;$
$\frac{C N}{N A} = \frac{C B_{1}}{B_{1} A} .$
Вычтем из обеих частей уравнения $1 ,$ а затем умножим на $- 1$:
$\frac{C N}{N A} - 1 = \frac{C B_{1}}{B_{1} A} - 1 ;$
$\frac{C N - N A}{N A} = \frac{C B_{1} - B_{1} A}{B_{1} A} | \cdot ( - 1 ) ;$
$\frac{N A - C N}{N A} = \frac{B_{1} A - C B_{1}}{B_{1} A} ;$
$\frac{C A}{N A} = \frac{C A}{B_{1} A} ;$
$N A = B_{1} A .$
Следовательно, точки $N$ и $B_{1}$ совпадают.
Что и требовалось доказать.
Рис 5.
Для того чтобы запомнить расположение отрезков, отношения которых нам нужны, можно воспользоваться следующей схемой (рис. 5):
1. Ставим точку в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой. Например, если сначала пойти из точки $A$ в точку $B ,$ то получим отрезки: $A C_{1}$ и $C_{1} B ,$ затем $B A_{1}$ и $A_{1} C .$
Поскольку точка $B_{1}$ лежит на продолжении стороны $A C ,$ то при движении из точки $C$ мы «выходим» из треугольника и получаем отрезки $C_{1} B$ и $B_{1} A .$
2. А теперь записываем отношения соседних отрезков в том порядке, который у нас получился: $\frac{A C_{1}}{C_{1} B} ; \frac{B A_{1}}{A_{1} C} ; \frac{C B_{1} .}{B_{1} A} .$ Так мы получили отношения отрезков, произведение которых равно 1.
Пример 1
На медиане $A A_{1}$ треугольника $A B C$ взята точка $M ,$ причём $A M : M A_{1} = 1 : 3$ (рис. 6). В каком отношении прямая $B M$ делит сторону $A C$?
Рис 6.
Решение
Пусть $B_{1} –$ точка пересечения прямой $B M$ и стороны треугольника $A C .$
$A A_{1} –$ медиана треугольника $A B C ,$ значит $C A_{1} = A_{1} B = \frac{1}{2} C B .$
По теореме Менелая для треугольника $A A_{1} C$ и прямой $B_{1} B$ имеем:
$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} \cdot \frac{A M}{M A_{1}} \cdot \frac{A_{1} B}{B C} = 1 ;$
$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1 ;$
$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} = \frac{6}{1} .$
Ответ: $6 : 1 .$
Упражнение 1
Точки $M$ и $N$ расположены соответственно на сторонах $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ причём $A M : M B = 1 : 2 ,$ $A N : N C = 3 : 2 .$ Прямая $M N$ пересекает продолжение стороны $B C$ в точке $F .$ Найдите отношение $C F : B C .$
Теорема Чевы
Рассмотрим треугольник $A B C$ и отметим на прямых $A B ,$ $B C$ и $A C$ точки $C_{1} , A_{1} , B_{1} ,$ не совпадающие с его вершинами (см. рис. 1). Пусть $\overrightarrow{A C_{1}} = p \overrightarrow{C_{1} B} ,$ $\overrightarrow{B A_{1}} = q \overrightarrow{A_{1} C} ,$ $\overrightarrow{C B_{1}} = r \overrightarrow{B_{1} A} .$ При этом $p , q , r \neq 0$ и $p , q , r \neq - 1 .$
При каком соотношении между числами $p , q$ и $r$ прямые $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке? В ответе на этот вопрос нам поможет следующая теорема, связанная с именем итальянского математика и инженера Джованни Чевы (1648—1734):
Теорема
Пусть на сторонах или продолжениях сторон $A B ,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1} ,$ $A_{1} ,$ $B_{1} ,$ не совпадающие с его вершинами, причём $\overrightarrow{A C_{1}} = p \overrightarrow{C_{1} B} ,$ $\overrightarrow{B A_{1}} = q \overrightarrow{A_{1} C} ,$ $\overrightarrow{C B_{1}} = r \overrightarrow{B_{1} A} .$ Тогда если прямые $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то $p q r = 1 ;$ обратно: если $p q r = 1 ,$ то прямые $A A_{1} ,$ $B B_{1} ,$ $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны.
Данная теорема может быть записана и в другом виде:
Теорема
Рис. 7
Если на сторонах $A B ,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1} ,$ $A_{1}$ и $B_{1}$ (рис. 7), то отрезки $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
А также:
Рис 8.
Если на продолжениях за точку $B$ сторон $A B$ и $C B$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1} ,$ $A_{1} ,$ а на стороне $C A$ взята точка $B_{1}$ (рис. 8), то прямые $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Докажем эту теорему:
1. Пусть отрезки $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.
Проведём через вершину $B$ прямую $M N \parallel A C ,$ $M \in C C_{1} ,$ $N \in A A_{1} .$
Рис. 9
Треугольники $A C_{1} C$ и $M C_{1} B$ по двум углам:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{A C}{M B}$
Треугольники $A A_{1} C$ и $B A_{1} N$ по двум углам:
$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} = \frac{B N}{A C}$
Треугольники $C B_{1} O$ и $M B O$ по двум углам:
$\frac{C B_{1}}{O B_{1}} = \frac{M B}{O B}$
Треугольники $A O B_{1}$ и $B O N$ по двум углам:
$\frac{O B_{1}}{B_{1} A} = \frac{O B}{B N}$
Перемножим все полученные равенства:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{O B_{1}} \cdot \frac{O B_{1}}{B_{1} A} = \frac{A C}{M B} \cdot \frac{B N}{A C} \cdot \frac{M B}{O B} \cdot \frac{O B}{B N} ;$
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Что и требовалось доказать
Рис 10.
2. Теперь докажем, что если $\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1 ,$ то отрезки $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке. Пусть отрезок $B B_{1}$ не проходит через точку $O ,$ в которой пересекаются отрезки $A A_{1}$ и $C C_{1} .$ Через точку $O$ проведём прямую$B N$ (рис. 10).
Так как отрезки $A A_{1} ,$ $C C_{1}$ и $B N$ пересекаются в одной точке (по построению), то выполняется равенство:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$
По условию:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$
Разделим первое равенство на второе:
$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} \cdot \frac{C_{1} B}{A C_{1}} \cdot \frac{A_{1} C}{B A_{1}} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1 ;$
$\frac{C N}{N A} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1 ;$
$\frac{C N}{N A} = \frac{C B_{1}}{B_{1} A}$
Аналогично рассуждениям из 2 пункта доказательства теоремы Менелая, точки $N$ и $B_{1}$ совпадают.
Что и требовалось доказать.
Пример 2
Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
Рис 11.
Возьмем произвольный треугольник $A B C ,$ проведём в нём высоты $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$(рис. 11). Треугольники $A A_{1} B , A A_{1} C , B B_{1} C , B B_{1} A ,$ $C C_{1} A , C C_{1} B$ прямоугольные, значит
$B A_{1} = \cos \angle B \cdot A B ,$ $A_{1} C = \cos \angle C \cdot A C ,$
$C B_{1} = \cos \angle C \cdot B C ,$ $B_{1} A = \cos \angle A \cdot A B ,$
$A C_{1} = \cos \angle A \cdot A C ,$ $C_{1} B = \cos \angle B \cdot B C .$
Если высоты $A A_{1} ,$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы верно соотношение:
$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} \frac{\cdot A C_{1}}{C_{1} B} = 1 .$
Проверим:
$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} \frac{\cdot A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{\cos \angle B \cdot A B}{\cos \angle C \cdot A C} \cdot \frac{\cos \angle C \cdot B C}{\cos \angle A \cdot A B} \cdot \frac{\cos \angle A \cdot A C}{\cos \angle B \cdot B C} = 1 .$
Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
Упражнение 2
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте теорему Менелая
- Сформулируйте теорему Чевы.
- При каком соотношении отрезков сторон треугольника прямые, выходящие из вершин треугольника и пересекающие противоположную сторону, пересекаются в одной точке?
Упражнение 1
$1 : 2 .$
