Конспект урока: Теорема Менелая. Теорема Чевы

Теорема Менелая. Теорема Чевы

План урока

Теорема Менелая
Теорема Чевы

Цели урока

Знать формулировку и доказательство теорем Менелая и Чевы
Уметь применять изученные теоремы при решении геометрических задач

Разминка

Что такое отношение направленных отрезков?
Когда можно сделать вывод о том, что векторы являются противоположно направленными?
Перечислите варианты взаимного расположения точки и прямой, двух прямых.

Теорема Менелая

Теорема Менелая — это классическая теорема аффинной геометрии. Она была доказана в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 г. н. э.).

Для того чтобы перейти к теореме Менелая и её доказательству, рассмотрим отношение направленных отрезков.

Отношением $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ направленных отрезков $\vec{a}$ и $\vec{b},$ которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называется число $n .$ Из этого следует, что $\vec{a} = n \cdot \vec{b} .$ Если $n > 0,$ то $\vec{a}$ и $\vec{b} -$ сонаправленные векторы.

Если $n < 0,$ то $\vec{a}$ и $\vec{b} -$ противоположно направленные векторы.

Рис. 1

Пусть дан треугольник $A B C$ и на прямых $A B,$ $B C$ и $C A$ отмечены точки $C_{1}, A_{1}, B_{1},$ не совпадающие с его вершинами (рис. 1) и $\vec{A C_{1}} = p \vec{C_{1} B},$ $\vec{B A_{1}} = \vec{q A_{1} C},$ $\vec{C B_{1}} = r \vec{B_{1} A} .$

Числа $p, q, r$ не равны $0$ и $- 1,$ так как при равенстве нулю, точки $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ совпадают с вершинами треугольника $A B C,$ а если, например, $p = - 1,$ то $\vec{A C_{1}} = - \vec{C_{1} B},$ откуда $\vec{A C_{1}} + \vec{C_{1} B} = \vec{A B} = \vec{0},$ т. е. вершины $A$ и $B$ совпадут, что противоречит условию.

Тогда, при каком соотношении между числами $p, q, r$ точки $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ лежат на одной прямой? Ответить на этот вопрос нам поможет теорема Менелая.

Теорема

Пусть на сторонах или продолжениях сторон $A B,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1}, A_{1}, B_{1},$ не совпадающие с его вершинами, причём $\vec{A C_{1}} = p \vec{C_{1} B},$ $\vec{B A_{1}} = \vec{q A_{1} C},$ $\vec{C B_{1}} = r \vec{B_{1} A} .$ Тогда если точки $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ лежат на одной прямой, то $p q r = - 1;$ обратно: если $p q r = - 1;$ то точки $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ лежат на одной прямой.

Данная теорема может быть сформулирована и в другом виде:

Теорема

Если на сторонах $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1}$ и $A_{1},$ а точка $B_{1}$ взята на продолжении стороны $A C$ за точку $C$ (рис.2), то точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Докажем эту теорему:

Рис. 2

1. Пусть точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой.

Проведём через точку $C$ прямую $C M ∥ A B,$ $M \in C_{1} B_{1}$ (рис. 3).

Треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $C M B_{1}$ подобны по двум углам, следовательно:

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{C M}{C B_{1}}$

Рис. 3

Треугольники $C_{1} B A_{1}$ и $A_{1} M C$ подобны по двум углам, следовательно:

$\frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{A_{1} C}{C M}$

Перемножим полученные равенства:

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{C M}{C B_{1}} \cdot \frac{A_{1} C}{C M};$

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{A_{1} C}{C B_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A_{1} C};$

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A_{1} C} = 1;$

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Что и требовалось доказать

2. Докажем теперь, что если выполняется равенство $\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1,$ то точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой:

Проведём прямую через точки $C_{1}$ и $A_{1}$ и обозначим буквой $N$ точку пересечения этой прямой с прямой $A C$ (рис. 4).

Рис. 4

Так как точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $N$ лежат на одной прямой (по построению), то выполняется равенство:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$

По условию:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Разделим первое равенство на второе и получим:

$\frac{C N}{N A} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1;$

$\frac{C N}{N A} = \frac{C B_{1}}{B_{1} A} .$

Вычтем из обеих частей уравнения $1,$ а затем умножим на $- 1$ :

$\frac{C N}{N A} - 1 = \frac{C B_{1}}{B_{1} A} - 1;$

$\frac{C N - N A}{N A} = \frac{C B_{1} - B_{1} A}{B_{1} A} | \cdot (- 1);$

$\frac{N A - C N}{N A} = \frac{B_{1} A - C B_{1}}{B_{1} A};$

$\frac{C A}{N A} = \frac{C A}{B_{1} A};$

$N A = B_{1} A .$

Следовательно, точки $N$ и $B_{1}$ совпадают.

Что и требовалось доказать.

Рис 5.

Для того чтобы запомнить расположение отрезков, отношения которых нам нужны, можно воспользоваться следующей схемой (рис. 5):

1. Ставим точку в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой. Например, если сначала пойти из точки $A$ в точку $B,$ то получим отрезки: $A C_{1}$ и $C_{1} B,$ затем $B A_{1}$ и $A_{1} C .$

Поскольку точка $B_{1}$ лежит на продолжении стороны $A C,$ то при движении из точки $C$ мы «выходим» из треугольника и получаем отрезки $C_{1} B$ и $B_{1} A .$

2. А теперь записываем отношения соседних отрезков в том порядке, который у нас получился: $\frac{A C_{1}}{C_{1} B}; \frac{B A_{1}}{A_{1} C}; \frac{C B_{1} .}{B_{1} A} .$ Так мы получили отношения отрезков, произведение которых равно 1.

Пример 1

На медиане $A A_{1}$ треугольника $A B C$ взята точка $M,$ причём $A M ∶ M A_{1} = 1 ∶ 3$ (рис. 6). В каком отношении прямая $B M$ делит сторону $A C$ ?

Рис 6.

Решение

Пусть $B_{1} -$ точка пересечения прямой $B M$ и стороны треугольника $A C .$
$A A_{1} -$ медиана треугольника $A B C,$ значит $C A_{1} = A_{1} B = \frac{1}{2} C B .$
По теореме Менелая для треугольника $A A_{1} C$ и прямой $B_{1} B$ имеем:

$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} \cdot \frac{A M}{M A_{1}} \cdot \frac{A_{1} B}{B C} = 1;$

$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1;$

$\frac{C B_{1}}{B_{1} A} = \frac{6}{1} .$

Ответ: $6 : 1 .$

Упражнение 1

Точки $M$ и $N$ расположены соответственно на сторонах $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ причём $A M ∶ M B = 1 ∶ 2,$ $A N ∶ N C = 3 ∶ 2 .$ Прямая $M N$ пересекает продолжение стороны $B C$ в точке $F .$ Найдите отношение $C F ∶ B C .$

Теорема Чевы

Рассмотрим треугольник $A B C$ и отметим на прямых $A B,$ $B C$ и $A C$ точки $C_{1}, A_{1}, B_{1},$ не совпадающие с его вершинами (см. рис. 1). Пусть $\vec{A C_{1}} = p \vec{C_{1} B},$ $\vec{B A_{1}} = q \vec{A_{1} C},$ $\vec{C B_{1}} = r \vec{B_{1} A} .$ При этом $p, q, r \neq 0$ и $p, q, r \neq - 1 .$

При каком соотношении между числами $p, q$ и $r$ прямые $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке? В ответе на этот вопрос нам поможет следующая теорема, связанная с именем итальянского математика и инженера Джованни Чевы (1648—1734):

Теорема

Пусть на сторонах или продолжениях сторон $A B,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1},$ $A_{1},$ $B_{1},$ не совпадающие с его вершинами, причём $\vec{A C_{1}} = p \vec{C_{1} B},$ $\vec{B A_{1}} = q \vec{A_{1} C},$ $\vec{C B_{1}} = r \vec{B_{1} A} .$ Тогда если прямые $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то $p q r = 1;$ обратно: если $p q r = 1,$ то прямые $A A_{1},$ $B B_{1},$ $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

Данная теорема может быть записана и в другом виде:

Теорема

Рис. 7

Если на сторонах $A B,$ $B C$ и $C A$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $B_{1}$ (рис. 7), то отрезки $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

А также:

Рис 8.

Если на продолжениях за точку $B$ сторон $A B$ и $C B$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $C_{1},$ $A_{1},$ а на стороне $C A$ взята точка $B_{1}$ (рис. 8), то прямые $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Докажем эту теорему:

1. Пусть отрезки $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

Проведём через вершину $B$ прямую $M N ∥ A C,$ $M \in C C_{1},$ $N \in A A_{1} .$

Рис. 9

Треугольники $A C_{1} C$ и $M C_{1} B$ по двум углам:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{A C}{M B}$

Треугольники $A A_{1} C$ и $B A_{1} N$ по двум углам:

$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} = \frac{B N}{A C}$

Треугольники $C B_{1} O$ и $M B O$ по двум углам:

$\frac{C B_{1}}{O B_{1}} = \frac{M B}{O B}$

Треугольники $A O B_{1}$ и $B O N$ по двум углам:

$\frac{O B_{1}}{B_{1} A} = \frac{O B}{B N}$

Перемножим все полученные равенства:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{O B_{1}} \cdot \frac{O B_{1}}{B_{1} A} = \frac{A C}{M B} \cdot \frac{B N}{A C} \cdot \frac{M B}{O B} \cdot \frac{O B}{B N};$

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Что и требовалось доказать

Рис 10.

2. Теперь докажем, что если $\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1,$ то отрезки $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке. Пусть отрезок $B B_{1}$ не проходит через точку $O,$ в которой пересекаются отрезки $A A_{1}$ и $C C_{1} .$ Через точку $O$ проведём прямую $B N$ (рис. 10).

Так как отрезки $A A_{1},$ $C C_{1}$ и $B N$ пересекаются в одной точке (по построению), то выполняется равенство:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$

По условию:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} = 1$

Разделим первое равенство на второе:

$\frac{A C_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C N}{N A} \cdot \frac{C_{1} B}{A C_{1}} \cdot \frac{A_{1} C}{B A_{1}} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1;$

$\frac{C N}{N A} \cdot \frac{B_{1} A}{C B_{1}} = 1;$

$\frac{C N}{N A} = \frac{C B_{1}}{B_{1} A}$

Аналогично рассуждениям из 2 пункта доказательства теоремы Менелая, точки $N$ и $B_{1}$ совпадают.

Что и требовалось доказать.

Пример 2

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Рис 11.

Возьмем произвольный треугольник $A B C,$ проведём в нём высоты $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ (рис. 11). Треугольники $A A_{1} B, A A_{1} C, B B_{1} C, B B_{1} A,$ $C C_{1} A, C C_{1} B$ прямоугольные, значит

$B A_{1} = c o s ∠ B \cdot A B,$ $A_{1} C = c o s ∠ C \cdot A C,$

$C B_{1} = c o s ∠ C \cdot B C,$ $B_{1} A = c o s ∠ A \cdot A B,$

$A C_{1} = c o s ∠ A \cdot A C,$ $C_{1} B = c o s ∠ B \cdot B C .$

Если высоты $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы верно соотношение:

$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} \frac{\cdot A C_{1}}{C_{1} B} = 1 .$

Проверим:

$\frac{B A_{1}}{A_{1} C} \cdot \frac{C B_{1}}{B_{1} A} \frac{\cdot A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{\cos ∠ B \cdot A B}{\cos ∠ C \cdot A C} \cdot \frac{\cos ∠ C \cdot B C}{\cos ∠ A \cdot A B} \cdot \frac{\cos ∠ A \cdot A C}{\cos ∠ B \cdot B C} = 1 .$

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Упражнение 2

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Контрольные вопросы

Сформулируйте теорему Менелая
Сформулируйте теорему Чевы.
При каком соотношении отрезков сторон треугольника прямые, выходящие из вершин треугольника и пересекающие противоположную сторону, пересекаются в одной точке?

Ответы

Упражнение 1

$1 : 2 .$