Конспект урока: Формулы площади треугольника. Формула Герона

Теорема о площади треугольника, описанного около окружности

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на эту сторону, или $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$. Это основная формула площади треугольника. Также площадь можно найти как половину произведения сторон и синуса угла между ними, или $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin \alpha$.

Треугольник имеет уникальную способность. В любой треугольник можно вписать окружность и любой треугольник можно вписать в окружность. Значит, можно предположить, что площадь треугольника можно выразить через радиусы описанной и вписанной окружностей.

Первая теорема связывает площадь треугольника и радиус вписанной окружности. 

Рис. 1. Треугольник, описанный около окружности

Доказательство этой теоремы очень простое.

 

Рассмотрим треугольник $A B C$ и вписанную в него окружность с центром в точке $O$ (рис. 1). 

 

Так как окружность вписана, то все стороны треугольника являются касательными и радиусы, проведенные в точки касания, будут перпендикулярны сторонам. 

 

Рассмотрим треугольники $A O B$, $A O C$ и $B O C .$ Площадь каждого из них можно вычислить по основной формуле площади треугольника $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$,  где высотой каждого треугольника будет радиус вписанной окружности.

 

Площадь треугольника $A B C$ равна сумме площадей треугольников $A O B$, $A O C$ и $B O C$. Тогда получим

 

$S_{A B C} = S_{A O B} + S_{A O C} + S_{B O C} = \frac{1}{2} A B \cdot r + \frac{1}{2} A C \cdot r + \frac{1}{2} B C \cdot r =$

$= \frac{1}{2} \cdot ( A B + A C + B C ) \cdot r = p \cdot r$,

 

где $p = \frac{1}{2} \cdot ( A B + A C + B C )$.

 

Теорема доказана.

Решение

Из формулы $S = p \cdot r$ выразим полупериметр:

$p = \frac{S}{r}$.

Площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, т.е.

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6,72 = 84$.

Тогда периметр треугольника равен

$P = 2 p = \frac{2 S}{r} = \frac{2 \cdot 84}{3} = 56$.

Ответ: $56$.

Уточняющая теорема синусов

Теорема синусов говорит о том, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это утверждение можно уточнить.

Рис. 2. Треугольник, вписанный в окружность

Рассмотрим треугольник $A B C$ и описанную около этого треугольника окружность с центром в точке $O$ (рис. 2). 

 

Пусть угол $A$ - острый (в треугольнике есть хотя бы один острый угол). Проведем диаметр $B D$ и хорду $D C$. 

 

Углы $B A C$ и $B D C$ равны, так как являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $B C$. $\angle B C D = 90^{\circ}$, так как опирается на диаметр.

 

Тогда применим теорему синусов для треугольника $B D C$. Получим

 

$\frac{B C}{\sin \angle B D C} = \frac{B D}{\sin \angle B C D} = \frac{2 R}{\sin 90^{\circ}} = 2 R$.

 

Так как углы $B A C$ и $B D C$ равны, то

 

$\frac{B C}{\sin \angle B D C} = \frac{B C}{\sin \angle B A C} = 2 R$.

 

Последнее равенство описывает отношение стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике $A B C$. Следовательно, теорема доказана.

Данная теорема имеет два следствия, которые связывают площадь треугольника и радиус описанной окружности.

Следствия можно доказать, используя формулу $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin \alpha$, выразив синус угла через теорему синусов.

Формула Герона

Следующая формула площади треугольника одна из самых удобных. 
С помощью неё можно вычислить площадь треугольника, зная длины всех его сторон.

Формулу можно доказать с помощью формулы $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a b \cdot \sin \alpha$. Для этого необходимо выразить $\sin \alpha$ через стороны треугольника, воспользовавшись теоремой косинусов и основным тригонометрическим тожеством.

Решение

С одной стороны, площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{a b c}{4 R} .$ Отсюда можно найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{a b c}{4 S}$.

С другой стороны, можно воспользоваться формулой Герона: 

$S = \sqrt{p \left(p - a\right) \left(p - b\right) \left(p - c\right)}$,

где $p = \frac{5 + 5 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Вычислим радиус

$R = \frac{a b c}{4 \sqrt{p \left(p - a\right) \left(p - b\right) \left(p - c\right)}} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1}} = \frac{25}{6}$.

Ответ: $\frac{25}{6}$.