- Теорема о биссектрисе треугольника
- Следствие о длине отрезков, на которые биссектриса делит сторону
- Длина биссектрисы
- Знать свойство биссектрисы треугольника;
- Уметь находить длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону;
- Уметь находить длину биссектрисы.
- Что такое биссектриса треугольника?
- Что вы знаете о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию?
- Как найти длину биссектрисы равностороннего треугольника?
Теорема о биссектрисе треугольника
Рис. 1. Теорема синусов
Вспомним, что биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Также вспомним теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 1), т.е.
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B } = \frac{c}{\sin C }$.
Следующая теорема является свойством биссектрисы треугольника.
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.
Рис. 2. Теорема о биссектрисе треугольника
Рассмотрим треугольник $A B C$, где $B B_{1}$ — биссектриса (рис. 2).
Введём обозначения. Так как $B B_{1}$ — биссектриса, то $\angle A B B_{1} = \angle C B B_{1}$. Обозначим их градусные меры $\alpha$. Углы $\angle A B_{1} B$ и $\angle C B_{1} B$ смежные, тогда пусть $\angle A B_{1} B = \beta$, $\angle C B_{1} B = 180^{\circ} - \beta$.
По теореме синусов в треугольнике $A B B_{1}$
$\frac{A B_{1}}{\sin \alpha} = \frac{A B}{\sin \beta}$, $\frac{A B_{1}}{A B} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$.
Аналогично, в треугольнике $C B B_{1}$ получим
$\frac{C B_{1}}{\sin \alpha} = \frac{C B}{\sin \left(180^{\circ} - \beta\right)}$, $\frac{C B_{1}}{C B} = \frac{\sin \alpha}{\sin ( 180^{\circ} - \beta )}$.
Так как синусы смежных углов равны, то имеем, что $\sin \beta = \sin ( 180^{\circ} - \beta )$.
Тогда можем приравнять левые части полученных соотношений для треугольников $A B B_{1}$ и $C B B_{1}$:
$\frac{A B_{1}}{A B} = \frac{C B_{1}}{C B}$,
откуда
$\frac{A B_{1}}{C B_{1}} = \frac{A B}{C B}$.
Пример 1
В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A D$ (рис. 3). Найдите периметр треугольника $A B C$, если $A C = 4$, $D C = 2$, $B D = 3$.
Решение
Рис. 3. Треугольник ABC
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Используя соотношение из теоремы о биссектрисе треугольника, найдем длину стороны $A B$:
$\frac{D C}{D B} = \frac{A C}{A B}$,
$A B = \frac{A C \cdot D B}{D C} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Тогда
$P_{A B C} = 4 + 6 + ( 2 + 3 ) = 15$.
Ответ: $15 .$
Упражнение 1
В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A D$. Найдите периметр треугольника $A B C$, если $A C = 6$, $D C = 3$, $B D = 4$.
Следствие из теоремы
Раз биссектриса делит сторону на части, пропорциональные другим сторонам, то длины этих частей можно найти, зная стороны треугольника.
Вернемся к треугольнику $A B C$ (рис. 2). Нам известно, что
$\frac{A B_{1}}{C B_{1}} = \frac{A B}{C B}$
или
$A B_{1} \cdot C B = A B \cdot C B_{1}$.
С другой стороны, $A B_{1} + C B_{1} = A C$. Выразим из этих двух равенств $A B_{1}$, получим
$\left(A C - C B_{1}\right) \cdot C B = A B \cdot C B_{1}$,
$C B_{1} = \frac{A C \cdot C B}{A B + C B}$.
Аналогично можно получить, что
$A B_{1} = \frac{A C \cdot A B}{A B + C B}$.
Таким образом, мы выразили длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону, через длины сторон треугольника.
Следствие
В треугольнике $A B C$ со сторонами $A B = c , A C = b , B C = a$ и биссектрисой $B B_{1}$ имеют место равенства:
$C B_{1} = \frac{a b}{a + c}$, $A B_{1} = \frac{b c}{a + c}$.
Формула длины биссектрисы
Биссектриса является отрезком треугольника, значит, её длину можно найти, зная длины сторон треугольника.
На самом деле длина биссектрисы выражается через стороны, образующие угол, и через длины отрезков, на которые биссектриса делит оставшуюся сторону.
В треугольнике $A B C$ со сторонами $A B = c , B C = a$ длину биссектрисы $B B_{1}$ можно вычислить по формуле:
$B B_{1}^{2} = a c - A B_{1} \cdot C B_{1}$.
Пример 2
Стороны треугольника равны $5,7$ и $10 .$ Найдите длину биссектрисы, проведённую к большей стороне.
Решение
Рис. 4. Треугольник ABC
Рассмотрим треугольник $A B C$ (рис. 4). Пусть $A B = 5$, $B C = 7$, и $A C = 10$.
Найдем длины отрезков $A B_{1}$ и $B_{1} C$:
$A B_{1} = \frac{A C \cdot A B}{A B + B C} = \frac{10 \cdot 5}{5 + 7} = \frac{25}{6}$,
$B_{1} C = A C - A B_{1} = \frac{35}{6}$.
Найдем длину биссектрисы:
$B B_{1} = \sqrt{A B \cdot B C - A B_{1} \cdot C B_{1}} = = \sqrt{5 \cdot 7 - \frac{25}{6} \cdot \frac{35}{6}} = \frac{\sqrt{385}}{6} .$
Ответ: $\frac{\sqrt{385}}{6}$.
Упражнение 2
Стороны треугольника равны $4$, $7$, $9$. Найти длину биссектрисы, проведённой к меньшей стороне.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о биссектрисе треугольника.
2. Как найти длину биссектрисы треугольника?
Упражнение 1
$21$.
Упражнение 2
$\frac{3 \sqrt{105}}{4}$.
