- Теорема о медиане треугольника
- Следствие о диагоналях параллелограмма
- Примеры
- Знать формулу нахождения длины медианы треугольника;
- Знать формулу связи длин диагоналей и сторон параллелограмма;
- Уметь применять указанные формулы при решении задач.
- Что называют медианой треугольника?
- Какими свойствами обладает медиана треугольника?
- Диагонали какого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам?
Теорема о медиане треугольника
Из курса планиметрии известно, что по известным трём элементам треугольника можно найти другие его элементы. Вспомним некоторые определения и теоремы.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Рис. 1. Теорема косинусов
Для доказательства следующей теоремы понадобится теорема косинусов (рис. 1):
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A$.
Длину медианы любого треугольника можно найти, зная длины его сторон.
Теорема
Квадрат медианы $A M$ треугольника $A B C$ выражается формулой
$A M^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$.
Рис. 2. Теорема о медиане треугольника
Рассмотрим треугольник $A B C$, где $A M$ — медиана (рис. 2).
Длину этой медианы можно найти по теореме косинусов в треугольнике $A C M$, тогда
$A M^{2} = A C^{2} + M C^{2} - 2 \cdot A C \cdot M C \cdot \cos C$.
Используя теорему косинусов для треугольника $A B C ,$ выразим косинус угла $C$:
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos C$,
тогда
$\cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C}$.
Так как $A M$ — медиана треугольника, то $M C = M B = \frac{1}{2} B C .$ Подставим полученные соотношения в выражения для $A M$:
$A M^{2} = A C^{2} + \left(\frac{B C}{2}\right)^{2} - 2 \cdot A C \cdot \frac{B C}{2} \cdot \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} =$
$= \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$.
Теорема доказана.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике $A B C$ $\angle C = 90^{\circ}$, $A C = 4$, $B C = 6$. Найти длину медианы $A M$.
Решение
Рис. 3. Прямоугольный треугольник ABC
Сначала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:
$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{13}$.
Воспользуемся теоремой о медиане треугольника:
$A M^{2} = \frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$.
т.е.
$A M = \sqrt{\frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} =} = \sqrt{\frac{4^{2}}{2} + \frac{\left(2 \sqrt{13}\right)^{2}}{2} - \frac{6^{2}}{4}} = 5 .$
Ответ: $5$.
Упражнение 1
1. Стороны треугольника равны $4,6 , 8 .$ Найдите длину медианы, проведённую к меньшей стороне.
2. Найди длину основания равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна $2 ,$ а медиана, проведённая к боковой стороне, равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Следствие о диагоналях параллелограмма
Доказанная выше теорема имеет следствие. Но сначала вспомним, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следствие
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Рис. 4. Следствие о диагоналях параллелограмма
Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ (рис. 4).
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то $A O = \frac{1}{2} A C$ — медиана треугольника $A B D$. Тогда, используя, предыдущую теорему, получаем
$A O^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$,
или
$\frac{A C^{2}}{4} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$.
Умножим обе части выражения на 4 и перенесём квадрат диагонали $B D$ в левую часть. Получили
$A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 A D^{2}$.
Значит, $A C^{2} + B D^{2} = A B^{2} + C D^{2} + A D^{2} + B C^{2}$.
Следствие доказано.
Пример 2
Диагонали ромба равны 5 и 12. Найти длину стороны ромба.
Решение
Ромб – это параллелограмм, стороны которого равны. Значит, сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на $4$.
Пусть сторона равна $a$, а диагонали равны $d_{1}$ и $d_{2}$. Тогда
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$.
или
$a = \frac{\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$.
Ответ: $6,5 .$
Упражнение 2
Стороны параллелограмма равны $4$ и $5 ,$ а одна из его диагоналей равна $7 .$ Найти длину другой диагонали параллелограмма.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о медиане треугольника.
2. Может ли быть медиана больше каждой из сторон треугольника? Почему?
Упражнение 1
1. $\sqrt{46}$;
2. $1 .$
Упражнение 2
$\sqrt{33}$.
