Конспект урока: Вычисление объёмов тел с помощью интеграла

Рис. 1.

Одним из приложений определённого интеграла, который вы изучали в курсе алгебры, является вычисление объёмов тел. Пусть некоторое тело $T$ заключено между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1). 

Введём систему координат таким образом, чтобы ось $O x$ была перпендикулярна к плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Введём следующие обозначения:

$a$ и $b$ – абсциссы точек пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с осью $O x$ соответственно $( a < b )$;

$\Phi ( x )$ – сечение тела $T$ плоскостью, перпендикулярной к оси $O x$ и проходящей через точку с абсциссой $x$, $x \in \left[a ; b\right]$;

$S ( x )$ – площадь фигуры $\Phi ( x )$.

Будем считать, что тело $T$ такое, что $\Phi ( x )$ является либо кругом, либо многоугольником при любом $x$ из отрезка $\left[a ; b\right]$ (если $x = a$ и $x = b$, то сечение – точка) и $S ( x )$ является непрерывной функцией на отрезке $[ a ; b \left]\right.$.

Рис. 2.

Отметим точки $x_{0} = a , x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{n} = b$, разбивающие отрезок $[ a ; b \left]\right.$ на $n$ равных отрезков. Через точки $x_{i}$ проведём плоскости, перпендикулярные к оси $O x$ (рис. 2). Проведённые плоскости разбивают тело $T$ на $n$ тел: $T_{1} , T_{2} , T_{3} , \ldots , T_{n}$.

Объём тела $T_{i}$ приближённо равен $S ( x_{i} ) \cdot \Delta x_{i}$, где  $\Delta x_{i} = \frac{b - a}{n}$.

Объём всего тела можно приближённо вычислить по формуле

$V \approx V_{n} =$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $S ( x_{i} ) \cdot \Delta x_{i}$.

Чем больше $n$ (чем меньше $\Delta x_{i}$), тем точнее приближённое значение $V_{n}$, а при $n \rightarrow \infty$ (при $\Delta x_{i} \rightarrow 0$) $V_{n} \rightarrow V$, т.е. $V = \underset{n \rightarrow \infty}{l i m} V_{n}$. При этом $\sum_{i = 1}^{n}$ $S \left(x_{i}\right) \cdot \Delta x_{i}$ является интегральной суммой для непрерывной функции $S ( x )$ на числовом отрезке $[ a ; b \left]\right.$. Следовательно, $V = \underset{n \rightarrow \infty}{l i m} V_{n} = \int_{a}^{b} S ( x ) d x$.

Рис. 3.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси $O x$ и выразим площадь этого сечения как функцию от $x$.

Из подобия треугольников $S A_{1} O_{1}$ и $S A O$ следует $\frac{S O_{1}}{S O} = \frac{A_{1} O_{1}}{A O}$.

$S O_{1} = x ; S O = 1 ; A_{1} O_{1} = R_{1} ; A O = R = 2$

$\frac{x}{1} = \frac{R_{1}}{2} \Rightarrow R_{1} = 2 x$

$S ( x ) = \pi \cdot \left(R_{1}\right)^{2} = \pi \cdot ( 2 x )^{2} = 4 \pi x^{2} .$

Получили $S ( x ) = 4 \pi x^{2}$. Подставим в основную формулу объёма тела. 

$V = \int_{0}^{1} S \left(x\right) d x = \int_{0}^{1} 4 \pi x^{2} d x = \left.\frac{4 \pi x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{4 \pi}{3}$.

Ответ: $\frac{4 \pi}{3}$.

Рис. 4.

Так как рассматриваемое тело является телом вращения, то любое сечение плоскостью перпендикулярной оси вращения $O x$ – круг. При этом радиус равен значению функции $y = \sqrt{x}$ в точке $x$, т.е. $R ( x ) = \sqrt{x} \Rightarrow S \left(x\right) = \pi \left(\sqrt{x}\right)^{2} = \pi x$.

Вычислим объём данного тела с помощью интеграла $V = \int_{a}^{b} S \left(x\right) d x$.

$V = \int_{3}^{5} \pi x d x = \left.\frac{\pi x^{2}}{2}\right|_{3}^{5} = \frac{25 \pi}{2} - \frac{9 \pi}{2} = \frac{16 \pi}{2} = 8 \pi$.

Ответ: $8 \pi$.

Рис. 5

Для того, чтобы воспользоваться формулой вычисления объема тела, полученного вращением графика функции $y = 0,5 x$ вокруг оси $O y$, преобразуем функцию $f ( x )$ к виду $f ( y )$.

$y = 0,5 \sqrt{x}$,

$y = \frac{1}{2} \sqrt{x}$,

$2 y = \sqrt{x}$,

$4 y^{2} = x$.

Тогда 

$V = \pi \int_{0}^{1} \left(4 y^{2}\right)^{2} d y = \pi \int_{0}^{1} 16 y^{4} d y = \frac{16 y^{5}}{5} \left.\pi\right| 10 = \frac{16 \pi}{5}$.