Конспект урока: Объём шара. Площадь сферы

Объём шара

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, а тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Рис.1 Шар радиуса  и с центром в точке

Рассмотрим шар (рис. 1) радиуса $R$ и с центром в точке $O$. Выберем ось $O x$ как показано на рисунке. Проведем секущую плоскость перпендикулярно к оси $O x$. Сечение представляет собой круг с центром в точке $O_{1}$ (точке пересечения секущей плоскости с осью $O x$). $x$ – абсцисса точки $O_{1}$, очевидно, что $0 \leq x \leq R$. Обозначим площадь сечения за $S ( x )$, его радиус за $r$. Найдем $r$ из прямоугольного треугольника $O O_{1} A$ по теореме Пифагора:

 

$r = O_{1} A =$ $\sqrt{( O A^{2} - O O_{1}^{2} )}$ $= \sqrt{( R^{2} - x^{2} )}$.

Площадь сечения – площадь круга радиуса $r$, поэтому 

$S ( x ) =$ $\pi r^{2} = \pi ( R^{2} - x^{2} )$.

Эта формула справедлива при любом расположении точки $O_{1}$ на диаметре $C D$, т. е. для любого $x$ из отрезка $[ - R ; R \left]\right.$. 

Вычислим объём шара с помощью интеграла:

Решение

Объём шара радиуса $R$ равен $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.

Выразим радиус шара из формулы объёма и найдем длину радиуса:

$R^{3} = \frac{3 V}{4 \pi}$,    $R = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 \pi}} =$ $\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 972 \pi}{4 \pi}}$ $= \sqrt[3]{729} = 9$

Ответ: 9.

Решение

Исходный объём шара $V_{1}$ радиуса $R_{1}$ равен $V_{1} = \frac{4}{3} \pi \left(R_{1}\right)^{3}$.

Радиус шара увеличили в два раза, т.е. $R_{2} = 2 R_{1}$. Тогда объём шара $V_{2}$ радиуса $R_{2}$равен

$V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3} =$ $\frac{4}{3} \pi \cdot ( 2 R_{1} )^{3} =$ $\frac{4}{3} \pi \cdot 8 \left(R_{1}\right)^{3} =$ $8 \cdot \frac{4}{3} \pi \left(R_{1}\right)^{3} =$ $8 V_{1}$.

Получили, что объём шара увеличился в 8 раз.

Ответ: в 8 раз.

Рис.2 Многогранник, описанный около сферы

Площадь сферы 

 

Рассмотрим сферу радиуса $R$ и с центром в точке $O$. Опишем около нее многогранник с $n$ гранями и соединим его вершины с центром сферы, получим $n$ пирамид с общей вершиной, у которых основаниями являются грани многогранника, а высоты – радиусы сферы, проведенные в точки касания сферы с гранями многогранника. Пронумеруем эти пирамиды в произвольном порядке. Обозначим за $S_{i}$ площадь 

$i$–ой грани многогранника ($i \in \left\{1 ; 2 ; \ldots ; n\right\}$). 
Очевидно, что объем $V_{n}$ описанного многогранника равен сумме объемов всех пирамид. То есть

 

$V_{n} =$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\frac{1}{3} S_{i} R =$ $\frac{1}{3} R$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $S_{i}$.

 

Обозначим площадь полной поверхности многогранника за $P_{n} .$ Тогда 

 

$V_{n} = \frac{1}{3} R P_{n}$.

 

Отсюда

 

$P_{n} = \frac{( 3 V_{n} )}{R}$.

Очевидно, что при неограниченном увеличении количества граней $n$, наибольший размер каждой грани многогранника стремится к нулю, а при этом его объем $V_{n}$ стремится к объему шара. Получили, что если наибольший размер грани не превосходит некоторого числа $\delta$, то описанный многогранник содержится в шаре радиуса $R + \delta$ и с центром в точке $O$. Но, с другой стороны, этот многогранник содержит шар радиуса $R$, т. е.

$\frac{4}{3} \pi R^{3} < V_{n}$ $< \frac{4}{3} \pi \left( R + \delta \right)^{3}$.

Так как при $\delta \rightarrow 0$   $\frac{4}{3} \pi \left( R + \delta \right)^{3}$ $\rightarrow \frac{4}{3} \pi R^{3}$, то при $\delta \rightarrow 0$   $V_{n} \rightarrow \frac{4}{3} \pi R^{3}$.

Тогда

$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} P_{n} =$ $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}$ $\frac{( 3 V_{n} )}{R}$ $= \frac{3}{R}$ $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}$ $V_{n} =$ $\frac{3}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} =$ $4 \pi R^{2}$.

Таким образом, 

$S = 4 \pi R^{2}$.

Решение

Пусть дана сфера радиуса $R_{1}$ и с площадью поверхности $S_{1}$. После увеличения радиуса получим сферу радиуса $R_{2} = 3 R_{1}$ и с площадью поверхности $S_{2}$. Найдем отношение площадей поверхностей двух сфер:

$\frac{S_{2}}{S_{1}} =$ $\frac{4 \pi R_{2}^{2}}{4 \pi R_{1}^{2}} =$ $\frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}} =$ $\frac{9 R_{1}^{2}}{R_{1}^{2}}$ $= 9$.

Таким образом, при увеличении радиуса сферы в 3 раза, площадь ее поверхности увеличится в 9 раз.

Ответ: увеличится в 9 раз.

Упражнение 1

1. 3. 2. $288 \pi$

Упражнение 2

1. уменьшится в 27 раз. 2. увеличится в 3,375 раз