Конспект урока: Объём конуса

Объём конуса

Вспомним, что конус – это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Основанием конуса является круг радиуса $R$.

Формула объёма конуса имеет уже знакомый для вас вид.

Формула для вычисления объема конуса имеет вид, аналогичный формуле нахождения объёма пирамиды. Соответственно, и доказательства этих теорем очень похожи.

Рис. 1. Конус

Рассмотрим конус (рис. 1) с радиусом основания $R$, высотой $h$ и вершиной $D$. 

 

Введем ось $D x$, как показано на рисунке.

 

Построим сечение, которое будет перпендикулярно высоте конуса. Это сечение параллельно плоскости основания. Оно представляет собой круг с центром в точке $O_{1}$ (точке пересечения секущей плоскости с осью $D x$). Обозначим его радиус через $r$. Очевидно, что $r < R$. 

 

$x$ – абсцисса точки $O_{1}$, $S \left(x\right)$ – площадь сечения. Понятно, что круг с радиусом $R$ и круг радиуса $r$ подобны, а это значит, что 

 

$\frac{S \left(x\right)}{S} = \left(\frac{r}{R}\right)^{2}$.

Из подобия прямоугольных треугольников $D O_{1} A_{1}$ и $D O A$ получим 

$\frac{r}{R} = \frac{D O_{1}}{D O} = \frac{x}{h}$.

Вычислим объём конуса с помощью интеграла:

$V = \int_{0}^{h} S \left(x\right) d x = \int_{0}^{h} S \cdot \left(\frac{r}{R}\right)^{2} d x = \int_{0}^{h} S \cdot \left(\frac{x}{h}\right)^{2} d x = \frac{S}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x =$

$= \frac{S}{h^{2}} \cdot \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{h} = \frac{1}{3} S \cdot h$.

Решение

Найдем высоту конуса. Радиус в два раза меньше диаметра, т.е. $R = \frac{10}{2} = 5 .$ Образующая $l$, радиус $R$ и высота конуса $h$ связаны между собой теоремой Пифагора, т.е.

$h = \sqrt{l^{2} - R^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$.

Тогда объём конуса равен

$V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^{2} \cdot 12 = 100 \pi$.

Ответ: $100 \pi$.

Объём усеченного конуса

Объём усеченного конуса можно найти по формуле, аналогичной формуле объёма усеченной пирамиды.