- Объём шарового сегмента
- Объём шарового слоя
- Объём шарового сектора
- Знать формулы нахождения объёмов шаровых сегмента, слоя и сектора
- Уметь находить объёмы шаровых сегмента, слоя, сектора
- Как найти объём шара?
- Во сколько раз уменьшится объём шара, если его диаметр уменьшить в 5 раз?
Рис. 1 Шаровой сегмент
Объём шарового сегмента
Для пирамиды и конуса помимо формул объёмов этих фигур, вы изучили формулы для нахождения объёмов усеченных пирамид и конуса. Для шара есть формулы объёмов его частей.
Мы рассмотрим шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор.
Начнем с шарового сегмента (рис. 1).
Рис. 2 Шаровой сегмент
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.
Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента (на рис. 2 высоты сегментов обозначены $h$ и $h_{1}$).
Если радиус шара равен $R$, а высота сегмента равна $h$ то объём $V$ шарового сегмента вычисляется по формуле
$V = \pi h^{2} ( R - \frac{1}{3} h ) .$
Докажем эту формулу.
Выберем ось $O x$ как показано на рисунке 2. $x -$ расстояние от центра шара до точки, принадлежащей высоте сегмента (центра круга – сечения шара), при этом $x$ может принимать значения от $( R - h )$ до $R$. Обозначим за $S ( x )$ площадь сечения.
Тогда $S ( x )$ можно вычислить по формуле
$S ( x ) = \pi r_{1}^{2}$ $= \pi ( R^{2} - x^{2} ) .$
Используя основную формулу для вычисления объёма тел с помощью определенного интеграла, получаем:
$V =$ $\int_{R - h}^{R}$ $S ( x ) d x =$ $\int_{R - h}^{R}$ $\pi ( R^{2} - x^{2} ) d x =$ $\pi R^{2}$ $\int_{R - h}^{R}$ $d x - \pi$ $\int_{R - h}^{R}$ $x^{2} d x =$
$= \pi R^{2} \cdot$ $x \left(|^{R}\right)_{R - h}$ $- \pi \cdot \frac{x^{3}}{3}$ $\left(|^{R}\right)_{R - h}$ $= \pi h^{2}$ $( R - \frac{1}{3} h ) .$
Пример 1
Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 6 см, а высота сегмента, составляет треть диаметра шара.
Решение
Пусть $D$ диаметр шара. Найдем высоту сегмента:
$h = \frac{1}{3} D =$ $\frac{1}{3} \cdot 2 R =$ $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$(см).
Найдем объём сегмента:
$V = \pi h^{2}$ $( R - \frac{1}{3} h ) =$ $\pi \cdot 4^{2} \cdot ( 6 - \frac{4}{3} ) =$ $\frac{224 \pi}{3}$ см3.
Ответ: $\frac{224 \pi}{3}$ см3.
Упражнение 1
1. Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 12 см, а высота сегмента составляет четверть диаметра шара.
2. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус шара равен 4, а объём шарового сегмента равен $27 \pi$.
Объём шарового слоя
Следующая часть шара, которую мы рассмотрим, — это шаровой слой (рис. 3). Его можно получить, если разрезать шар двумя параллельными плоскостями. Сделав это действие, получим два сегмента и один слой.
Рис. 3 Шаровой слой
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.
Расстояние $h$ между плоскостями называется высотой шарового слоя, а сами сечения – основаниями шарового слоя.
Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, объем шарового слоя, изображенного на рисунке 3, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами $A C$ и $B C$:
$V_{\text{слоя}} = V_{\text{сегмАС}} - V_{\text{сегмВС} .}$
Пример 2
Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру (рис. 4). Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара $R$ равен 3.
Рис. 4 Шаровой слой
Решение
Объём слоя найдем как разность объёмов сегмента с высотой $A D$ и сегмента с высотой $A C$. Пусть $D$ диаметр шара, $h_{1} = A D ,$ $h_{2} = A C .$
По условию $A C = C D$ $= \frac{1}{3} D = 2 .$ Тогда $h_{1} = 4 ,$ $h_{2} = 2 .$
Найдем объём
$V_{\text{слоя}} = V_{\text{сегмА} D} - V_{\text{сегмАС}} =$
$= \pi h_{1}^{2}$ $( R - \frac{1}{3} h_{1} )$ $- \pi h_{2}^{2}$ $( R - \frac{1}{3} h_{2} ) =$
$= \pi \cdot 4^{2}$ $( 3 - \frac{4}{3} )$ $- \pi \cdot 2^{2} ( 3 - \frac{2}{3} )$ $= \frac{52 \pi}{3}$.
Ответ: $\frac{52 \pi}{3}$.
Упражнение 2
На диаметре шара $A B$ отмечены точки $C$, $D$, причём $A C = \frac{1}{4} D ,$ $A D = \frac{3}{4} D$($D -$ диаметр шара). Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара $R$ равен 6.
Объём шарового сектора
Дадим определение шарового сектора (рис. 5).
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим $90^{\circ}$, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Рис. 5 Шаровой сектор
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса (рис. 5).
Если радиус шара равен $R$, а высота шарового сегмента равна $h$ то высота конуса равна $( R - h )$, а площадь основания конуса равна:
$S_{\text{осн}} =$ $\pi r^{2} =$ $\pi ( R^{2} - ( R - h )^{2} )$ $= \pi h ( 2 R - h )$.
Вычислим объём шарового сектора.
$V_{\text{сектора}} = V_{\text{сегмента}} + V_{\text{конуса} ,}$
$V_{\text{сектора}} = \pi h^{2}$ $( R - \frac{1}{3} h )$ $+ \frac{1}{3} \pi h ( 2 R - h )$ $\cdot ( R - h ) =$ $\frac{2}{3} \pi R^{2} h .$
Если радиус шара равен $R$, а высота шарового сегмента равна $h$, то объём $V$ шарового сектора вычисляется по формуле
$V = \frac{2}{3} \pi R^{2} h .$
Пример 3
Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 4, а радиус шара равен 5 (рис. 6).
Рис. 6 Шаровой сектор
Решение
Найдем высоту $h$ шарового сегмента. В прямоугольном треугольнике $A C O$ по теореме Пифагора найдем $O C$:
$O C = \sqrt{( R^{2} - r^{2} )}$ $= \sqrt{( 5^{2} - 4^{2} )} = 3 .$
Тогда $h = B C = B O$ $- O C = 5 - 3 = 2$
Найдем объём шарового сектора:
$V =$ $\frac{2}{3} \pi R^{2} h =$ $\frac{2}{3}$ $\pi \cdot 5^{2} \cdot 2$ $= \frac{100 \pi}{3} .$
Ответ: $\frac{100 \pi}{3} .$
Упражнение 3
Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 5 см, а радиус шара равен 13 см.
Контрольные вопросы
1. Чем шаровой сегмент отличается от шарового сектора?
2. Как можно получить шаровой слой?
3. Как найти объём этих частей шара?
Упражнение 1
1. $360 \pi$ 2. 3.
Упражнение 2
$198 \pi .$
Упражнение 3
$\frac{338 \pi}{3} .$
