Конспект урока: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Рис. 1. Направляющий вектор

Из аксиом планиметрии известно, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. Также координаты вектора в пространстве задают две точки. Соответственно, прямую, проходящую через две заданные точки в прямоугольной системе координат, можно соотнести с вектором, координаты которого являются разностью координат точек прямой. Такой вектор называют направляющим (рис. 1).

Рис. 2. Нормальный вектор плоскости

Из аксиом стереометрии известно, что через любые три точки проходит плоскость и притом только одна. Соответственно, плоскость нельзя однозначно соотнести с вектором, лежащим в этой плоскости или в параллельной ей.

Плоскость задается с помощью нормального вектора $\overrightarrow{n}$ (рис. 2). 

Рис. 3. φ=α

На рисунке 3 угол $\varphi$ между прямыми равен углу $\alpha$ между векторами. Значит,                   

$\cos \varphi = \cos \alpha$.

Рис. 4. α+φ=180°

На рисунке 4 угол $\varphi$ между прямыми и угол $\alpha$ между векторами являются смежными, т.е. $\alpha + \varphi = 180^{\circ}$. Значит, 

$\cos \varphi = \cos ( 180^{\circ} - \alpha ) = - \cos \alpha$.

Рис. 5. Единичный куб

Решение

Введем систему координат с началом в точке $B$ (рис. 5).

Определим координаты направляющих векторов прямых $A B$ и $D B_{1}$. Для этого определим координаты точек $A , B , D , B_{1}$:

$A ( 0 ; 0 ; 1 ) , B ( 0 ; 0 ; 0 ) , D ( 1 ; 0 ; 1 ) , B_{1} ( 0 ; 1 ; 0 )$.

Тогда:

$\overrightarrow{A B} \left\{0 ; 0 ; - 1\right\} , \overrightarrow{D B_{1}} \left\{- 1 ; 1 ; - 1\right\}$.

Воспользуемся формулой

$\cos \varphi = \frac{\left|x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}\right|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$.

где $\varphi$ — угол между прямыми $A B$ и $D B_{1}$, а $x_{1} , y_{1} , z_{1}$ и $x_{2} , y_{2} , z_{2}$ — координаты векторов $\overrightarrow{A B}$ и $\overrightarrow{D B_{1}}$ соответственно. Тогда

$\cos \varphi = \frac{\left|0 \cdot ( - 1 ) + 0 \cdot 1 + ( - 1 ) \cdot ( - 1 )\right|}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + ( - 1 )^{2}} \cdot \sqrt{( - 1 )^{2} + 1^{2} + ( - 1 )^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Рис. 6. Угол между прямой и плоскостью

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью сводится к нахождению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Также, как и в задаче с прямыми, возможны два случая.

Рассмотрим один из них. После в итоговую формулу добавим модуль, как и в случае с прямыми.

Обратимся к рисунку 6. Необходимо найти угол между прямой $b$ и плоскостью $\gamma$. Пусть $\alpha$ – угол между прямой $b$ и плоскостью $\gamma$. Угол $\beta$ – угол между направляющим вектором $\overrightarrow{b}$ и нормальным вектором $\overrightarrow{n}$. Из рисунка видно, что $\alpha + \beta = 90^{\circ}$. Тогда

$\cos \beta = \cos ( 90^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$.

В общем случае имеем $\sin \alpha = \left|\cos \beta\right|$.

Рис. 7. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $B$ (рис. 7).

Определим координаты направляющего вектора прямой $D B_{1}$. Для этого определим координаты точек: $D ( 1 ; 0 ; 1 ) , B_{1} ( 0 ; 1 ; 0 )$.

Тогда:

$\overrightarrow{D B_{1}} \left\{- 1 ; 1 ; - 1\right\}$.

Вектор $\overrightarrow{A B}$ перпендикулярен плоскости $\left(A D D_{1}\right)$ значит, его выберем в качестве нормального вектора. Определим его координаты:

$A ( 0 ; 0 ; 1 ) , B ( 0 ; 0 ; 0 ) ,$ $\overrightarrow{A B} \left\{0 ; 0 ; - 1\right\}$.

Воспользуемся формулой

$\sin \alpha = \frac{\left|x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}\right|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$.

где $\alpha$ — угол между прямой $D B_{1}$ и плоскостью $\left(A D D_{1}\right)$, а $x_{1} , y_{1} , z_{1}$ и $x_{2} , y_{2} , z_{2}$ — координаты векторов $\overrightarrow{A B}$ и $\overrightarrow{D B_{1}}$ соответственно. Тогда

$\sin \alpha = \frac{\left|0 \cdot ( - 1 ) + 0 \cdot 1 + ( - 1 ) \cdot ( - 1 )\right|}{\sqrt{ 0^{2} + 0^{2} + ( - 1 )^{2}} \cdot \sqrt{( - 1 )^{2} + 1^{2} + ( - 1 )^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.