Конспект урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Связь между координатами векторов и координатами точек

Прямоугольная система координат в пространстве

Проведём три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке O. Выберем единичный отрезок и направление для каждой из проведённых прямых. В результате получим прямоугольную систему координат.

Рис. 1.

Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой $O$. Координатные оси обозначаются $O x$, $\text{Оу}$ и $O z$ и соответственно называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Выбранное положительное направление на каждой оси указывается стрелкой (рис. 1).

 

Плоскости, проходящие через координатные оси $O x$ и $\text{Оу}$, $\text{Оу}$ и $O z$, $O x$ и $O z$, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно $O x y$, $O y z$ и $O x z$.

 

Каждая из осей координат точкой $O$ делится на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Рис. 2.

Если задана прямоугольная система координат, то каждой точке пространства соответствует некоторая тройка чисел ($x$; $y$; $z$), которые называются координатами данной точки. Чтобы определить координаты точки $M$ (рис. 2), проведём через неё три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями $O x$, $\text{Оу}$, $O z$.

Рис. 3.

Координатой $x$ точки $M$ называют число, равное по абсолютной величине длине отрезка $O M_{1}$: положительное, если $M_{1}$ лежит на положительной полуоси $O x$, и отрицательное, если эта точка лежит на отрицательной полуоси. Аналогично определяются координаты $y$ и $z$ точки $M$. Координаты точки $M$ при этом записываются следующим образом $M$ ($x$; $y$; $z$).

 

Сначала записывает абсцисса, потом – ордината, и в последнюю очередь – аппликата.

 

Пользуясь этим правилом, запишем координаты точек, изображённых на рисунке 3:

 

$A ( 2 ; - 3 ; 5 ) , B ( 0 ; - 3 ; 5 ) , C ( 0 ; 0 ; 5 ) , D ( 2 ; 0 ; 5 )$,

$A_{1} ( 2 ; - 3 ; 0 ) , B_{1} ( 0 ; - 3 ; 0 ) , O ( 0 ; 0 ; 0 ) , D_{1} ( 2 ; 0 ; 0 )$.

Рис. 4.

Упражнение 1

 

Запишите координаты вершин куба, изображённого на рисунке 4.

Координаты вектора

Рис. 5.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат $O x y z$. На каждой из осей от начала координат в положительном направлении отложим вектор, длина которого равна единице (единичный вектор).

Введём следующие обозначения:

$\overrightarrow{i}$ – единичный вектор оси абсцисс;

$\overrightarrow{j}$ – единичный вектор оси ординат;

$\overrightarrow{k}$ – единичный вектор оси аппликат.

Эти векторы называют координатными векторами (рис. 5).

Так как координатные векторы не компланарны, то любой вектор $\overrightarrow{a}$ можно разложить по этим векторам, т.е. представить  в виде

$\overrightarrow{a} = x \cdot \overrightarrow{i} + y \cdot \overrightarrow{j} + z \cdot \overrightarrow{k}$,

где $x$, $y$ и $z$ – некоторые числа (коэффициенты разложения), определяемые единственным образом. Эти коэффициенты называются координатами вектора в данной системе координат и записывают $\overrightarrow{a} \left\{\right. x ; y ; z \left.\right\}$.

Рис. 6.

Пример 1

 

На рисунке 6 в прямоугольном параллелепипеде $O A = 2$, $O B = 3$, $O O_{1} = 2$. Найдите координаты векторов $\overrightarrow{O A_{1}}$, $\overrightarrow{O B_{1}}$, $\overrightarrow{O O_{1}}$, $\overrightarrow{O C}$, $\overrightarrow{O C_{1}}$, $\overrightarrow{B C_{1}}$, $\overrightarrow{A C_{1}}$, $\overrightarrow{O_{1} C}$.

Решение

$\overrightarrow{O A_{1}} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{O A_{1}} \left\{\right. 2 ; 0 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{O B_{1}} = 3 \cdot \overrightarrow{j} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{O B_{1}} \left\{\right. 0 ; 3 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{O O_{1}} = 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{O O_{1}} \left\{\right. 0 ; 0 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{O C} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 3 \cdot \overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{O C} \left\{\right. 2 ; 3 ; 0 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{O C_{1}} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 3 \cdot \overrightarrow{j} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{O C_{1}} \left\{\right. 2 ; 3 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{B C_{1}} = \overrightarrow{O A_{1}} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{B C_{1}} \left\{\right. 2 ; 0 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{A C_{1}} = \overrightarrow{O B_{1}} = 3 \cdot \overrightarrow{j} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{A C_{1}} \left\{\right. 0 ; 3 ; 2 \left.\right\}$;

$\overrightarrow{O_{1} C} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 3 \cdot \overrightarrow{j} - 2 \cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{O_{1} C} \left\{\right. 2 ; 3 ; - 2 \left.\right\}$.

Рассмотрим правила, с помощью которых по координатам данных векторов можно найти координаты суммы и разности данных векторов, а также произведения данного вектора на данное число.

1. Если $\overrightarrow{a} \left\{\right. x_{1} ; y_{1} ; z_{1} \left.\right\}$, $\overrightarrow{b} \left\{\right. x_{2} ; y_{2} ; z_{2} \left.\right\}$ – данные векторы, то вектор $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ имеет координаты $\left\{\right. x_{1} + x_{2} ; y_{1} + y_{2} ; z_{1} + z_{2} \left.\right\}$ или каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
2. Если $\overrightarrow{a} \left\{\right. x_{1} ; y_{1} ; z_{1} \left.\right\}$, $\overrightarrow{b} \left\{\right. x_{2} ; y_{2} ; z_{2} \left.\right\}$ – данные векторы, то вектор $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ имеет координаты $\left\{\right. x_{1} - x_{2} ; y_{1} - y_{2} ; z_{1} - z_{2} \left.\right\}$ или каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
3. Если $\overrightarrow{a} \left\{\right. x ; y ; z \left.\right\}$ – данный вектор, $\lambda$ – данное число, то вектор $\lambda \cdot \overrightarrow{a}$ имеет координаты $\left\{\right. \lambda \cdot x ; \lambda \cdot y ; \lambda \cdot z \left.\right\}$ или каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Упражнение 2

Рис. 7.

 

1. На рисунке 7 изображён куб с ребром, равным 1. Запишите координаты векторов $\overrightarrow{A D_{1}} , \overrightarrow{A_{1} D} , \overrightarrow{A C} , \overrightarrow{D_{1} C} , \overrightarrow{B C_{1}} , \overrightarrow{A C_{1}}$.
2. Запишите координаты векторов: $\overrightarrow{a} = 2 \cdot \overrightarrow{i} + 7 \cdot \overrightarrow{j} - 3 \cdot \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b} = - 5 \cdot \overrightarrow{i} + 9 \cdot \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{i} - 8 \cdot \overrightarrow{j} + 19 \cdot \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{e} = \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$.
3. Даны векторы $\overrightarrow{a} \left\{\right. 5 ; - 1 ; 1 \left.\right\}$ и $\overrightarrow{b} \left\{\right. - 2 ; 1 ; 0 \left.\right\}$. Найдите координаты векторов:

а) $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$; б) $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$; в) $2 \cdot \overrightarrow{a}$; г) $- 3 \cdot \overrightarrow{b}$; д) $- 5 \overrightarrow{a} + 12 \overrightarrow{b}$.

 

Координаты точки и координаты вектора

Из определения следует, что координаты точки $M ( x_{M} ; y_{M} ; z_{M} )$ являются координатами и радиус-вектора этой точки, т.е.

$\overrightarrow{O M} = x_{M} \cdot \overrightarrow{i} + y_{M} \cdot \overrightarrow{j} + z_{M} \cdot \overrightarrow{k} = \left\{\right. x_{M} ; y_{M} ; z_{M} \left.\right\}$

Рис. 8.

Рассмотрим теперь две произвольные точки $A ( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$ и $B ( x_{2} , y_{2} , z_{2} )$ (рис. 8).

Вектор $\overrightarrow{A B}$ равен разности векторов $\overrightarrow{O B}$ и $\overrightarrow{O A}$.

Выполним вычитание векторов в координатной форме

 

$\overrightarrow{A B} = \overrightarrow{O B} - \overrightarrow{O A} = \left\{\right. x_{2} - x_{1} ; y_{2} - y_{1} ; z_{2} - z_{1} \left.\right\}$

 

Таким образом, установили связь межу координатами вектора и координатами начала и конца этого вектора.