Конспект урока: Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

Координаты середины отрезка

В курсе планиметрии вы уже рассматривали подобные задачи. 

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Обратимся к рисунку 1. 

 

В прямоугольной системе координат $O x y z$ отмечены три точки $A$, $B$ и $C$, причём $C$ - середина отрезка $A B$. 

 

Построим три радиус-вектора: $\overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{O B}$ и 
$\overrightarrow{O C}$. 

 

Из курса планиметрии известно, что если $C$ - середина отрезка $A B$, то 

 

$O C = \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{O A} + \overrightarrow{O B}\right)$.

Пусть $A ( x_{A} ; y_{A} ; z_{A} )$ и $B ( x_{B} ; y_{B} ; z_{B} )$. Координаты радиус-векторов $\overrightarrow{O A}$ и $\overrightarrow{O B}$ равны координатам этих точек соответственно, т.е. $\overrightarrow{O A} \left\{x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right\}$ и $\overrightarrow{O B} \left\{x_{B} ; y_{B} ; z_{B}\right\}$. Тогда можем выразить координаты вектора $\overrightarrow{O C} \left\{x ; y ; z\right\}$

$\overrightarrow{O C} = \frac{1}{2} \left(\left(x_{A} \cdot \overrightarrow{i} + y_{A} \cdot \overrightarrow{j} + z_{A} \cdot \overrightarrow{k}\right) + \left(x_{B} \cdot \overrightarrow{i} + y_{B} \cdot \overrightarrow{j} + z_{B} \cdot \overrightarrow{k}\right)\right) =$

$= \frac{1}{2} \left(x_{A} + x_{B}\right) \cdot \overrightarrow{i} + \frac{1}{2} \left(y_{A} + y_{B}\right) \cdot \overrightarrow{j} + \frac{1}{2} \left(z_{A} + z_{B}\right) \cdot \overrightarrow{k}$

Получили, что $\overrightarrow{O C} \left\{\frac{1}{2} \left(x_{A} + x_{B}\right) ; \frac{1}{2} \left(y_{A} + y_{B}\right) ; \frac{1}{2} \left(z_{A} + z_{B}\right) \right\}$. Так как координаты радиус-вектора $\overrightarrow{O C}$ совпадают с координатами точки $C$ то

$C \left(\frac{1}{2} \left(x_{A} + x_{B}\right) ; \frac{1}{2} \left(y_{A} + y_{B}\right) ; \frac{1}{2} \left(z_{A} + z_{B}\right) \right)$.

Решение

Так как $C$ - середина отрезка $A B$, то каждая её координата равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е.

$x_{C} = \frac{1}{2} \left(x_{A} + x_{B}\right) , y_{C} = \frac{1}{2} \left(y_{A} + y_{B}\right) , z_{C} = \frac{1}{2} \left(z_{A} + z_{B}\right)$.

Выразим координаты точки $B$:

$x_{B} = 2 x_{C} - x_{A} , y_{B} = 2 y_{C} - y_{A} , z_{B} = 2 z_{C} - z_{A}$.

Подставим координаты точек $A$ и $C$:

$x_{B} = 2 \cdot 1 - 2 = 0 , y_{B} = 2 \cdot 2 - ( - 4 ) = 8 , z_{B} = 2 \cdot ( - 5 ) - 0 = - 10$.

Получили

$B ( 0 ; 8 ; - 10 )$.

Ответ: $B ( 0 ; 8 ; - 10 )$.

Вычисление длины вектора по его координатам

Рис. 2. Длина вектора по координатам

В прямоугольной системе координат $O x y z$ (рис. 2) отмечена точка $A$.  Построим радиус-вектор $\overrightarrow{O A}$. Если точка $A$ имеет координаты $( x ; y ; z )$ то вектор $\overrightarrow{O A}$ можно представить в виде 

 

$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=$$=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}$,

 

где $\overrightarrow{O A_{1}} = x \overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{O A_{2}} = y \overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{O A_{3}} = z \overrightarrow{k}$. 

 

Таким образом, имеем, что вектор $\overrightarrow{O A}$ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах $\overrightarrow{O A_{1}}$, $\overrightarrow{O A_{2}}$ и $\overrightarrow{O A_{3}}$, т.е.

 

$\left|\overrightarrow{O A}\right| = \sqrt{\left|\overrightarrow{O A_{1}}\right|^{2} + \left|\overrightarrow{O A_{2}}\right|^{2} + \left|\overrightarrow{O A_{3}}\right|^{2}}$.

 

Так как $\left|\overrightarrow{O A_{1}}\right| = \left|x \overrightarrow{i}\right| = \left|x\right|$, $\left|\overrightarrow{O A_{2}}\right| = \left|y \overrightarrow{j}\right| = \left|y\right|$ и $\left|\overrightarrow{O A_{3}}\right| = \left|z \overrightarrow{k}\right| = \left|z\right|$, то 

 

$\left|\overrightarrow{O A}\right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$.

Для получения этой формулы, мы воспользовались свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, т.е. рассмотрели случай, когда точка $A$ не лежит на координатных плоскостях. Если бы точка $A$ лежала в одной из координатных плоскостей, то одна из её координат равнялась бы нулю (если она лежит на координатной прямой – две координаты равны нулю). Значит, формула верна для любого вектора в пространстве.

Решение

Формула длины вектора $\overrightarrow{a}$ имеет вид:

$\left|\overrightarrow{a}\right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$.

Подставим данные из условия:

$7 = \sqrt{2^{2} + y^{2} + \left( - 3 \right)^{2}}$,

отсюда

$49 = 13 + y^{2}$,

$y^{2} = 36$.

Так как $y > 0$, то $y = 6$.

Ответ: 6.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Зная координаты двух точек в пространстве, можно найти координаты вектора. Зная координаты вектора, можно найти его длину. А так как длина вектора равна длине отрезка между этими точками, то с помощью формулы длины вектора, можно найти расстояние между двумя точками.

Пусть точка $M_{1}$ имеет координаты $\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$, а точка $M_{2}$ – координаты $\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right)$. Тогда координаты вектора $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ имеют вид $\left\{x_{2} - x_{1} ; y_{2} - y_{1} ; z_{2} - z_{1}\right\}$. Можно вычислить длину этого вектора по формуле: $\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1^{}\right)^2}^{}$.

Соответственно, если $d$ расстояние между точками $M_{1}$ и $M_{2}$, то $d = \left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right|$.

Решение

Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е.

$P_{A B C} = A B + B C + A C$.

Длины сторон равны расстоянию между соответствующими точками. Найдем эти длины:

$A B = \sqrt{\left(7 - 4\right)^{2} + \left(8 - 4\right)^{2} + \left(- 1 - ( - 1 \right)^{2}} = 5$,

$B C = \sqrt{( - 4 - 7 )^{2} + \left( 4 - 8 \right)^{2} + ( - 1 - ( - 1 ) )^{2}} = \sqrt{137}$,

$A C = \sqrt{( - 4 - 4 )^{2} + \left( 4 - 4 \right)^{2} + ( - 1 - ( - 1 ) )^{2}} = 8$.

Тогда

$P_{A B C} = 5 + \sqrt{137} + 8 = 13 + \sqrt{137}$.

Ответ: $13 + \sqrt{137}$.

Уравнение сферы

R с центром A (x₀; y₀; z₀)" loading="lazy" /> Рис. 3. Сфера радиуса R с центром A (x₀; y₀; z₀)

Также, как и окружность на плоскости, сфера имеет свое уравнение в пространстве.

Пусть точка $A$ — центр сферы с координатами ($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) в прямоугольной системе координат $O_{x y z}$, а $R$ — радиус этой сферы (рис. 3).

Отметим точку $N \left(x ; y ; z\right)$ на сфере.

С одной стороны, $A N$ является радиусом сферы, так как этот отрезок соединяет центр сферы с её точкой.

С другой стороны, длину отрезка $A N$ можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками. Тогда получим:

$R = A N \sqrt{\left(x - x_{0}\right)^{2} + \left(y - y_{0}\right)^{2} + \left(z - z_{0}\right)^{2}}$

или

$\left(x - x_{0}\right)^{2} + \left(y - y_{0}\right)^{2} + \left(z - z_{0}\right)^{2} = R^{2}$.

Решение

Подставим в уравнение сферы координаты центра и длину радиуса:

$\left(x - \left(- 1\right)\right)^{2} + \left(y - \left(- 2\right)\right)^{2} + \left(z - 4\right)^{2} = 5^{2}$,

$\left(x + 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} + \left(z - 4\right)^{2} = 25$.
 

Ответ: $\left(x + 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} + \left(z - 4\right)^{2} = 25$.