- Компланарные векторы
- Правило параллелепипеда
- Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
- Знать определение компланарных векторов
- Знать и уметь доказывать признак компланарности трёх векторов
- Знать и уметь применять правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов
- Знать и уметь доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам
- Уметь находить разложение вектора по трём данным некомпланарным векторам
- Какие векторы называются коллинеарными?
- Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?
- Две стороны треугольника параллельны плоскости $\alpha$. Параллельна ли третья сторона плоскости $\alpha$?
Компланарные векторы
Определение 1
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Компланарные вектора
Можно также сказать, что векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости (другими словами, имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости).
Из определения следует, что любые два векторы компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
Рис. 2.
На рисунке 2 изображён параллелепипед.
Векторы $\overrightarrow{D_{1} D_{2}}$, $\overrightarrow{A_{1} C_{2}}$, $\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$ компланарны, так как если отложить от точки $A_{1}$ вектор, равный $\overrightarrow{D_{1} D_{2}}$, то получится $\overrightarrow{A_{1} A_{2}}$, а векторы $\overrightarrow{A_{1} A_{2}}$,
$\overrightarrow{A_{1} C_{2}}$, $\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$ лежат в одной плоскости $A_{2} A_{1} C_{1}$.
Векторы $\overrightarrow{A_{1} D_{1}}$, $\overrightarrow{A_{1} B_{1}}$, $\overrightarrow{A_{1} A_{2}}$ не компланарны, так вектор $\overrightarrow{A_{1} A_{2}}$ не лежит в плоскости $D_{1} A_{1} B_{1}$.
Теорема 1 (признак компланарности трёх векторов)
Если вектор $\overrightarrow{c}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, т.е. представить в виде $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b}$, где $x$ и $y$ – некоторые числа, то векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны.
Доказательство
Рис. 3. К теореме 1
Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны, то компланарность векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ очевидна.
Рассмотрим случай когда векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не коллинеарны.
Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{O A} = \overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{O B} = \overrightarrow{b}$ (рис. 3).
Векторы $\overrightarrow{O A}$ и $\overrightarrow{O B}$ лежат в плоскости $O A B$. В этой же плоскости лежат векторы $\overrightarrow{O A_{1}} = x \cdot \overrightarrow{O A}$ и $\overrightarrow{O B_{1}} = y \cdot \overrightarrow{O B}$, а значит и их сумма лежит в этой плоскости:
$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{O C} = \overrightarrow{O A_{1}} + \overrightarrow{O B_{1}} = x \cdot \overrightarrow{O A} + y \cdot \overrightarrow{O B}$.
Таким образом векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.
Теорема доказана.
Из теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам (эта теорема доказывалась в курсе планиметрии) следует и обратное утверждение.
Теорема 2 (обратная признаку компланарности)
Если векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, а векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то вектор $\overrightarrow{c}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, т.е. представить в виде $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b}$, причём коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются единственным образом.
Упражнение 1
Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Определите, являются ли компланарными векторы:
а) $\overrightarrow{A B_{1}}$, $\overrightarrow{A D}$ и $\overrightarrow{B_{1} D}$; б) $\overrightarrow{B_{1} C_{1}}$, $\overrightarrow{C_{1} D}$ и $\overrightarrow{B_{1} D}$;
в) $\overrightarrow{A B}$, $\overrightarrow{A D}$ и $\overrightarrow{A A_{1}}$; г) $\overrightarrow{D A}$, $\overrightarrow{D C}$ и $\overrightarrow{D B_{1}}$.
Правило параллелепипеда
Опишем так называемое правило параллелепипеда, которым можно пользоваться при сложении трёх некомпланарных векторов.
Рис. 4. Правило параллелепипеда
Пусть даны некомпланарные векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. От произвольной точки $A_{1}$ отложим векторы $\overrightarrow{A_{1} B_{1}} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{A_{1} D_{1}} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{A_{1} A_{2}} = \overrightarrow{c}$. Построим параллелепипед $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ так, чтобы отрезки $A_{1} B_{1} ,$ $A_{1} D_{1}$, $A_{1} A_{2}$ были его рёбрами (рис. 4). Тогда вектор $\overrightarrow{A_{1} C_{2}}$ является суммой данных векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$, т.е. $\overrightarrow{A_{1} C_{2}} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$.
Упражнение 2
В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите вектор, начало и конец которого являются вершины куба, равный сумме векторов:
а) $\overrightarrow{C_{1} B_{1}} + \overrightarrow{C_{1} D_{1}} + \overrightarrow{C_{1} C}$; б) $\overrightarrow{B A} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{B B_{1}}$;
в) $\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A_{1} D_{1}} + \overrightarrow{A A_{1}}$; г) $\overrightarrow{B_{1} A_{1}} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{B_{1} B}$.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам
Представление вектора $\overrightarrow{p}$ в виде $\overrightarrow{p} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$, где $x$, $y$ и $z$ – некоторые числа, называют разложением вектора $\overrightarrow{p}$ по векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. Числа $x$, $y$ и $z$ называются коэффициентами разложения.
Сформулируем и докажем теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам.
Теорема 3
Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Рис. 5. К доказательству теоремы 3
Даны некомпланарные векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{O A} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{O B} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{O C} = \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{O P} = \overrightarrow{p}$ (рис. 5).
Проведём через точку $P$ прямую, параллельную прямой $O C$.
Пусть $P_{1}$ – точка пересечения этой прямой с плоскостью $A O B$. Через точку $P_{1}$ проведём прямую, параллельную прямой $O B$.
Пусть $P_{2}$ – точка пересечения этой прямой с прямой $O A$. Согласно правилу многоугольника
$\overrightarrow{O P} = \overrightarrow{O P_{2}} + \overrightarrow{P_{2} P_{1}} + \overrightarrow{P_{1} P}$,
$\overrightarrow{O P_{2}} \parallel \overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{P_{2} P_{1}} \parallel \overrightarrow{O B}$, $\overrightarrow{P_{1} P} \parallel \overrightarrow{O C}$. Следовательно, существуют числа $x$, $y$ и $z$ такие, что $\overrightarrow{O P_{2}} = x \cdot \overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{P_{2} P_{1}} = y \cdot \overrightarrow{O B}$, $\overrightarrow{P_{1} P} = z \cdot \overrightarrow{O C}$.
Таким образом,
$\overrightarrow{O P} = x \cdot \overrightarrow{O A} + y \cdot \overrightarrow{O B} + z \cdot \overrightarrow{O C}$
$\overrightarrow{p} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b} + z \cdot \overrightarrow{c}$.
Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Предположим, что некоторый вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по некомпланарным векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ двумя разными способами, т.е. $\overrightarrow{p} = x_{1} \cdot \overrightarrow{a} + y_{1} \cdot \overrightarrow{b} + z_{1} \cdot \overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{p} = x_{2} \cdot \overrightarrow{a} + y_{2} \cdot \overrightarrow{b} + z_{2} \cdot \overrightarrow{c}$.
Вычитая из первого равенства второе, получим
$\overrightarrow{0} = \left(x_{1} - x_{2}\right) \cdot \overrightarrow{a} + \left(y_{1} - y_{2}\right) \cdot \overrightarrow{b} + \left(z_{1} - z_{2}\right) \cdot \overrightarrow{c}$.
Так как векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ не компланарны, то это равенство возможно только в случае, если $x_{1} - x_{2} = 0$, $y_{1} - y_{2} = 0$, $z_{1} - z_{2} = 0$ $\Rightarrow x_{1} = x_{2}$, $y_{1} = y_{2}$, $z_{1} = z_{2}$.
Следовательно, коэффициенты разложения $\overrightarrow{p} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b} + z \cdot \overrightarrow{c}$ определяются единственным образом.
Теорема доказана.
Упражнение 3
В параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ разложите:
а) вектор $\overrightarrow{A C_{1}}$ по векторам $\overrightarrow{A B}$, $\overrightarrow{A D}$ и $\overrightarrow{A A_{1}}$;
б) вектор $\overrightarrow{A A_{1}}$ по векторам $\overrightarrow{D_{1} A_{1}}$, $\overrightarrow{D_{1} C_{1}}$ и $\overrightarrow{A_{1} C}$;
в) вектор $\overrightarrow{D_{1} B}$ по векторам $\overrightarrow{D_{1} A_{1}}$, $\overrightarrow{D_{1} C_{1}}$ и $\overrightarrow{D_{1} D}$;
г) вектор $\overrightarrow{B B_{1}}$ по векторам $\overrightarrow{C B}$, $\overrightarrow{C D}$ и $\overrightarrow{B_{1} D}$.
Контрольные вопросы
- Какие векторы называются компланарными?
- Сформулируйте признак компланарности трёх векторов.
- В чем заключается правило параллелепипеда, используемое при сложении трёх некомпланарных векторов?
- Сформулируйте теорему о разложении вектора по трём неколлинеарным векторам.
Упражнение 1
а) да; б) да; в) нет; г) нет.
Упражнение 2
а) $\overrightarrow{C_{1} A}$; б) $\overrightarrow{B D_{1}}$; в) $\overrightarrow{A C_{1}}$; г)$B_{1} D$.
Упражнение 3
а) $\overrightarrow{A C_{1}} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A A_{1}}$;
б) $\overrightarrow{A A_{1}} = \overrightarrow{D_{1} C_{1}} - \overrightarrow{D_{1} A_{1}} - \overrightarrow{A_{1} C}$;
в) $\overrightarrow{D_{1} B} = \overrightarrow{D_{1} A_{1}} + \overrightarrow{D_{1} C_{1}} + \overrightarrow{D_{1} D}$;
г) $\overrightarrow{B B_{1}} = \overrightarrow{C D} - \overrightarrow{B_{1} D} - \overrightarrow{C B}$.
