Конспект урока: Уравнение плоскости

Уравнение поверхности

Рис. 1. Уравнения поверхности

Если в пространстве задана прямоугольная система координат $O x y z$ и дана некоторая поверхность $F$ то уравнение с тремя переменными $x , y , z$ называется уравнением поверхности $F$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности $F$ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. 

 

На рисунке 1 изображены две поверхности и их уравнения:

 

1) $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2 z$; 2) $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$.

Уравнение плоскости

Вспомним, что нормальный вектор $\overrightarrow{n} \left\{a ; b ; c\right\}$ определяет плоскость. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через точку $M_{0} ( x_{0} ; y_{0} ; z_{0} )$ и перпендикулярна вектору $\overrightarrow{n} \left\{a ; b ; c\right\}$. Можем выбрать любую точку $M ( x ; y ; z )$, принадлежащую плоскости $\alpha$. Тогда вектор $\overrightarrow{n} \left\{a ; b ; c\right\}$ и $\overrightarrow{M_{0} M} \left\{x - x_{0} ; y - y_{0} ; z - z_{0}\right\}$ взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

$a \left(x - x_{0}\right) + b \left(y - y_{0}\right) + c \left(z - z_{0}\right) = 0$.

Если же точка $M ( x ; y ; z )$ не принадлежит плоскости, то векторы $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{M_{0} M}$ не перпендикулярны и их скалярное произведение не равно нулю, т.е. 

$a \left(x - x_{0}\right) + b \left(y - y_{0}\right) + c \left(z - z_{0}\right) \neq 0$.

Мы вывели уравнение плоскости. Если раскрыть скобки, то можно получить уравнение в общем виде.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Решение

Рис. 2. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $A$ (рис. 2)

Вектор $\overrightarrow{B D}$ перпендикулярен плоскости $\left(A C C_{1}\right)$.

Определим координаты точки $A$ принадлежащей плоскости $\left(A C C_{1}\right)$ и точек $B , D$:

 

$A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 1 ; 0 ) , D ( 1 ; 0 ; 0 )$.

 

Тогда координаты вектора $\overrightarrow{B D} \left\{1 ; - 1 ; 0\right\}$.

Осталось подставить координаты вектора $\overrightarrow{B D}$ и точки $A$ в уравнение плоскости 

 

$a \left(x - x_{0}\right) + b \left(y - y_{0}\right) + c \left(z - z_{0}\right) = 0$,

$1 ( x - 0 ) - 1 ( y - 0 ) + 0 ( z - 0 ) = 0$,

$x - y = 0$.

 

 

Ответ: $x - y = 0$.

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая задана уравнением $a x + b y + c z + d = 0$, и точку $M ( x_{M} ; y_{M} ; z_{M} )$, лежащую вне этой плоскости. 

Пусть точка $M_{\alpha} ( x_{\alpha} ; y_{\alpha} ; z_{\alpha} )$ – проекция $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости $\alpha$, т.е.

$a x_{\alpha} + b y_{\alpha} + c z_{\alpha} + d = 0$.

Векторы $\overrightarrow{n} \left\{a ; b ; c\right\}$ и $\overrightarrow{M M_{\alpha}} \left\{x_{\alpha} - x_{M} ; y_{\alpha} - y_{M} ; z_{\alpha} - z_{M}\right\}$ параллельны, так как перпендикулярны одной плоскости. Это значит, что $\overrightarrow{M M_{\alpha}} = k \overrightarrow{n}$, т.е.

$x_{\alpha} - x_{M} = k a , y_{\alpha} - y_{M} = k b , z_{\alpha} - z_{M} = k c$.

Расстояние $l$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно длине вектора $\overrightarrow{M M_{\alpha}}$, т.е.

$l = \sqrt{\left(x_{\alpha} - x_{M}\right)^{2} + \left(y_{\alpha} - y_{M}\right)^{2} + \left(z_{\alpha} - z_{M}\right)^{2}} =$

$= \sqrt{( k a )^{2} + ( k b )^{2} + ( k c )^{2}} = \left|k\right| \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Осталось выяснить чему равен коэффициент $k$. Воспользуемся следующими полученными соотношениями:

$a x_{\alpha} + b y_{\alpha} + c z_{\alpha} + d = 0$;

$x_{\alpha} - x_{M} = k a , y_{\alpha} - y_{M} = k b , z_{\alpha} - z_{M} = k c$.

Получим

$a ( x_{M} + k a ) + b ( y_{M} + k b ) + c ( z_{M} + k c ) + d = 0$,

$k = - \frac{a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Тогда 

$l = \left|\frac{a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\right| \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$,

$l = \frac{\left|a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$.

Решение

Рис. 3. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $A$ (рис. 3).

 

Уравнение плоскости $\left(A C C_{1}\right)$ мы получили в примере 1:                                  

 

$x - y = 0$.

 

Найдем координаты точки $M$:

 

$M ( 1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} )$.

 

Подставим все в формулу расстояния:

 

$l = \frac{\left|a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$,

 

$l = \frac{\left|1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0\right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1 )^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

 

 

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.