Конспект урока: Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

Определение степени с натуральным показателем

При вычислении площади квадрата и при вычислении объёма куба произведение одинаковых множителей записывали кратко: $a^{2}$ и $a^{3}$ (читали так: «квадрат числа a» и «куб числа a»).

Краткая запись произведения одинаковых множителей применяется для любого количества множителей.

Рассмотрим произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$:

$\underset{n\:\text{pаз}}{\underbrace{a \cdot a \ldots a}=a^{n}}$

Выражение $a^{n}$ называют степенью числа $a$ (читают так: «$a$ в степени $n$» или «$n$-я степень числа $a$»)

Повторяющийся множитель называют основанием степени, а число, которое показывает количество этих множителей — показателем степени.

В выражении $a^{n}$ основанием степени является число $a$, число $n$ — показатель степени.

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

Выполните возведение в степень:

а) $5^{4}$; 

б) $0,6^{3}$; 

в) $\left( \frac{3}{4} \right)^{3}$;  

г) $1^{8}$;   

д) $10^{7}$;    

е) $0,1^{5}$;   

ж) $( - 2 )^{5}$;   

з) $( - 2 )^{6}$;  

и) $- 2^{6}$.

а) $5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$;

б) $0,6^{3} = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,216$;

в) $\left( \frac{3}{4} \right)^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$;

г) $1^{8} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.  

при возведении 1 в любую степень всегда в ответе получим 1;

д) $10^{7} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000000$. 

при возведении в степень числа 10 в ответе получаем число, записанное с помощью 1 и 0, причём количество 0 равно показателю степени;

е) $0,1^{5} = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,00001$. 

при возведении в степень числа 0,1 в ответе получаем десятичную дробь, записанную с помощью 0 и 1, причём количество знаков после запятой равно показателю степени;

ж) $( - 2 )^{5} = ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) = - 32$.

при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получим в ответе отрицательное число;

з) $( - 2 )^{6} = ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 2 ) = 64$.

при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получим в ответе положительное число;

и) $- 2^{6} = - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = - 64$.

Если числовое выражение содержит несколько действий (без скобок), то порядок действий такой: возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание.

Укажите порядок действий в выражении:

              а) $25 – 3 \cdot 10^{3}$; 

              б) $( 25 – 3 ) \cdot 10^{3}$.

Решение

 а) $25 – 3 \cdot 10^{3}$

              1) возведение в степень,

              2) умножение,

              3) вычитание;

б) $( 25 – 3 ) \cdot 10^{3}$

             1) вычитание,

             2) возведение в степень,

             3) умножение.

1. Очень часто в математике, в информатике встречается степень числа 2. Вычислите и запомните:

$2^{1}$ =              $2^{5}$ =             $2^{9}$ =

$2^{2}$ =              $2^{6}$ =            $2^{10}$ =

$2^{3}$ =               $2^{7}$ =

$2^{4}$=                $2^{8}$ =

2. Найдите значения выражений в примере 2.

3. Вычислите, чему равна сумма кубов чисел 4 и 5.

4. Найдите квадрат разности чисел 7 и 3.

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Доказательство

$a^{m}\cdot a^{n}=\underset{m\:раз}{\underbrace{( a a \ldots a )}}\cdot\underset{n\:раз}{\underbrace{( a a \ldots a )}}=\underset{m+n\:раз}{\underbrace{a a \ldots a}}=a^{m+n}$

Правило умножения степеней

Заметим, что правило умножения степеней распространяется на произведение трёх и более степеней. Например,

$a^{m} a^{n} a^{k} = a^{m + n} a^{k} = a^{( m + n ) + k} = a^{m + n + k}$.

Доказательство

По определению частного равенство (1) будет иметь место, если будет справедливо равенство 

                                               $a^{m} = a^{m - n} \cdot a^{n}$.                                           (2)

Применим к выражению $a^{m - n} \cdot a^{n}$ основное свойство степени: $a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{m - n + n} = a^{m}$. 

Таким образом доказали равенство (2), а, значит, справедливо и равенство (1).

Правило деления степеней

Рассмотрим частное $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$. Так как при делении числа на такое же число получается 1, то, с другой стороны, $a^{n} : a^{n} = 1$. Тогда получили, что $a^{0} = 1$.

Выражение $0^{0}$ не имеет смысла. 

Теперь после того, как мы ввели нулевую степень, можно сделать вывод, что формула $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ при  $a \neq 0$ имеет место и в том случае, когда $m = 0$ и $n = 0 .$ Формула $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ справедлива для всех неотрицательных $m$ и $n$, таких, что $m \geq n$.

Представьте выражение в виде степени: 

               а) $x^{7} x^{10} x$;      б) $y^{15} : y^{8}$;       в) $c^{19} c^{0}$.

Решение

а) $x^{7} x^{10} x = x^{7 + 10 + 1} = x^{18}$;

б) $y^{15} : y^{8} = y^{15 - 8} = y^{7}$;

в) $c^{19} c^{0} = c^{19} \cdot 1 = c^{19}$.

1. Вычислите:

                      а) $\frac{12^{3} \cdot 12^{20}}{12^{21}}$;   б) $\frac{5^{14} \cdot 5}{5^{7} \cdot 5^{5}}$;  в) $\frac{0,4^{8} \cdot 0,4^{12}}{0,4^{11} \cdot 0,4^{7}}$.

2. Упростите: $\frac{C^{24} \cdot C^{8} \cdot C}{C^{28} \cdot C^{5}}$.

3. Решите уравнение: а) $4^{17} \cdot x = 4^{20}$;        б) $8^{23} : x = 8^{21}$.