- Возведение в степень произведения
- Возведение степени в степень
- Знать правила возведения в степень произведения и степени
- Уметь возводить в степень произведение и степень
- Как называется выражение вида $a^{n}$? Как называется число $a$? Число $n$?
- Как выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями?
- Как выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями?
Возведение в степень произведения
Для любых $a$ и $b$ и произвольного натурального числа $n$
$\left(a b\right)^{n} = a^{n} b^{n}$
Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.
Пример 1
Выполните возведение в степень: $\left(5 c p\right)^{4}$.
Решение
$\left(5 c p\right)^{4} = 5^{4} \cdot c^{4} \cdot p^{4} = 625 c^{4} p^{4}$
Ответ: $625 c^{4} p^{4}$.
Пример 2
Найдите значение выражения: $\frac{7^{10} \cdot 9^{10}}{63^{9}}$.
Решение
$\frac{7^{10} \cdot 9^{10}}{63^{9}} = \frac{\left(7 \cdot 9\right)^{10}}{63^{9}} = \frac{63^{10}}{63^{9}} = 63^{10 - 9} = 63^{1} = 63$
Ответ: 63.
Упражнение 1
- Вычислите: а) $4^{9} \cdot 0,25^{9}$; б) $0,4^{6} \cdot 5^{6}$.
- Найдите значение выражения: а) $\frac{2^{9} \cdot 3^{9}}{6^{7}}$; б) $\frac{45^{8}}{15^{7} \cdot 3^{7}}$.
- Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз?
Возведение степени в степень
Для любого числа $a$ и произвольных натуральных чисел $m$ и $n$
$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m n}$
При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
Пример 3
Выполните возведение в степень: $\left(x^{12}\right)^{4}$.
Решение
$\left(x^{12}\right)^{4} = x^{12 \cdot 4} = x^{48}$
Ответ: $x^{48}$.
Рассмотренные выше свойства степени о возведении в степень произведения и степени справедливы и в случае нулевых показателей (при условии ненулевого основания).
Пример 4
Запишите $2^{60}$ в виде степени с основанием:
а) 4;
б) 8;
в) 16;
г) 32.
Решение
а) Так как $4 = 2^{2}$, получим $2^{60} = \left(2^{2}\right)^{30} = 4^{30}$.
б) Так как $8 = 2^{3}$, получим $2^{60} = \left(2^{3}\right)^{20} = 8^{20}$.
в) Так как $16 = 2^{4}$, получим $2^{60} = \left(2^{4}\right)^{15} = 16^{15}$.
г) Так как $32 = 2^{5}$, получим $2^{60} = \left(2^{5}\right)^{12} = 32^{12}$.
Упражнение 2
1. Вычислите:
а) $\frac{2^{4} \cdot \left(2^{5}\right)^{2}}{2^{9}}$;
б) $\frac{\left(5^{4}\right)^{2} \cdot 5^{7}}{\left(5^{5}\right)^{3}}$;
в) $\frac{4^{8} \cdot 16}{\left(4^{3}\right)^{3}}$;
г) $\frac{3^{10} \cdot 9}{27^{3}}$.
2. Решите уравнение: $\frac{x^{3} \cdot x^{7}}{\left(x^{4}\right)^{2}} = 49$.
Контрольные вопросы
- Объясните, как возвести произведение в степень.
- Объясните, как степень возвести в степень.
- Представьте выражение $a^{18}$ в виде квадрата степени; в виде куба степени.
Упражнение 1
- а) 1; б) 64.
- а) 36; б) 45.
- В 25 раз.
Упражнение 2
- а) 32; б) 1; в) 4; г) 27.
- –7 и 7.
